Wolfram Language

Matrices aléatoires

Ensembles de Gauss (GOE, GUE, ...)

Les ensembles de Gauss sont familles de matrices aléatoires normalement distribuées avec des distributions invariantes par transformations unitaires. Ils sont bien étudiés, en partie en raison de la tractabilité analytique, mais aussi parce que les spectres associés très proches de ceux de nombreux systèmes avec de grands degrés de liberté. Des exemples de ces systèmes apparaissent dans la physique, la finance et la biologie.

Les matrices d'un ensemble orthogonal gaussien (GOE) sont symétriques. »

In[1]:=
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goe = RandomVariate[GaussianOrthogonalMatrixDistribution[5]];
In[2]:=
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SymmetricMatrixQ[goe]
Out[2]=

Les matrices d'un ensemble unitaire gaussien (GUE) sont hermitiennes. »

In[3]:=
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gue = RandomVariate[GaussianUnitaryMatrixDistribution[5]];
In[4]:=
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HermitianMatrixQ[gue]
Out[4]=

Les matrices d'un ensemble symplectique de Gauss (GSE) sont simplectiques hermitiennes. »

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In[5]:=
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symplecticMatrixQ[m_] := With[{\[ScriptCapitalJ] = KroneckerProduct[{{0, -1}, {1, 0}}, IdentityMatrix[Length[m]/2]]}, Conjugate[m].\[ScriptCapitalJ] == \[ScriptCapitalJ].m ];
In[6]:=
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gse = RandomVariate[GaussianSymplecticMatrixDistribution[5]];
In[7]:=
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symplecticMatrixQ[gse] && HermitianMatrixQ[gse]
Out[7]=

La distribution de valeurs propres pour les matrices d'ensembles de Gauss en petites dimensions.

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In[8]:=
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eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] #], 10^5]] & /@ {GaussianOrthogonalMatrixDistribution[4], GaussianUnitaryMatrixDistribution[4], GaussianSymplecticMatrixDistribution[4]}; Row[MapThread[ SmoothHistogram[#1, "Scott", Frame -> None, PlotLegends -> Placed[#2, Above], Filling -> Axis, FillingStyle -> Green] &, {eigs, {Style["Orthogonal", 15], Style["Unitary", 15], Style["Symplectic", 15]}}]]
Out[8]=

Exemples connexes

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