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적분 변환 EntityStore

적분 변환은 의 형태의 적분에 의해 함수 를 다른 함수 에 매핑하는 수학 작업이며, 는 이때 커널로 인지되어 있습니다. 적분 변환은 신호처리, 메디컬 이미징, 확률 이론 등 다양한 분야에서 매우 중요한 역할을 차지합니다. 여기서는 특성의 중요 변환을 담은 엔티티 스토어의 구축에 관해 알아봅니다.

엔티티 스토어는 EntityStore 데이터 구조 내의 적분 변환 중 가장 중요한 특성을 기록하여 수동으로 코딩 할 수있습니다.

In[1]:=
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EntityStore[<| "Types" -> <| "IntegralTransform" -> <| "Entities" -> <| "ExponentialFourierTransform" -> <| "Label" -> "exponential Fourier transform", "StandardName" -> "ExponentialFourierTransform", "StandardNotation" -> Hold[f[t]], "Definition" -> Inactive[FourierTransform][f[t], t, z] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) Inactive[Integrate][ E^(I t z) f[t], {t, -\[Infinity], \[Infinity]}]/Sqrt[ 2 \[Pi]], "GeneralProperties" -> <| "Linearity" -> {Inactive[FourierTransform][ a f[t] + b g[t], t, z] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) a Inactive[FourierTransform][f[t], t, z] + b Inactive[FourierTransform][g[t], t, z], Inactive[FourierTransform][f[t], t, z] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) Inactive[FourierTransform][f[-t] UnitStep[t], t, -z] + Inactive[FourierTransform][f[t] UnitStep[t], t, z]}, "Reflection" -> {Inactive[FourierTransform][f[-t], t, z] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) Inactive[FourierTransform][f[t], t, -z]}, "Dilation" -> {ConditionalExpression[ Inactive[FourierTransform][f[a t], t, z] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) Inactive[FourierTransform][f[t], t, z/a]/Abs[a], a \!\(\* TagBox["\[Element]", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"\[Element]"]\) Reals && a \!\(\* TagBox["!=", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"!="]\) 0]}, "Shifting or translation" -> {ConditionalExpression[ Inactive[FourierTransform][f[-a + t], t, z] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) E^(I a z) Inactive[FourierTransform][f[t], t, z], a \!\(\* TagBox["\[Element]", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"\[Element]"]\) Reals]}|>|>|>|>|>|>]
Out[1]=

다음의 CloudObject에서 더욱 완전한 버전을 찾을 수 있습니다.

In[2]:=
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itstore = CloudGet[CloudObject[ "https://www.wolframcloud.com/objects/c21b356b-607a-406c-af91-\ 5088f435fe99"]]
Out[2]=

이 세션을 위해 스토어를 등록합니다.

In[3]:=
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PrependTo[$EntityStores, itstore];

스토어의 엔티티를 살펴봅니다.

In[4]:=
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EntityValue["IntegralTransform", "Entities"]
Out[4]=

새로운 변환을 추가합니다.

In[5]:=
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Entity["IntegralTransform", "HilbertTransform"]["Label"] = "Hilbert transform"; Entity["IntegralTransform", "HilbertTransform"]["Definition"] = Inactive[HilbertTransform][f[t], t, x] \!\(\* TagBox["==", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"=="]\) 1/\[Pi] Inactive[Integrate][f[t]/( t - x), {t, -\[Infinity], \[Infinity]}, PrincipalValue -> True, Assumptions -> x \!\(\* TagBox["\[Element]", "InactiveToken", BaseStyle->"Inactive", SyntaxForm->"\[Element]"]\) Reals];

적분 변환을 위해 현재 사용 가능한 특성을 반환합니다.

In[6]:=
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EntityValue["IntegralTransform", "Properties"]
Out[6]=

지수 푸리에 (Fourier) 변환과 멜린 (Mellin) 변환의 정의를 꺼냅니다.

In[7]:=
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EntityValue[ Entity["IntegralTransform", "LaplaceTransform"], "Definition"]
Out[7]=
In[8]:=
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EntityValue[ Entity["IntegralTransform", "MellinTransform"], "Definition"]
Out[8]=

대응하는 내장 함수가 반환한 결과 식과 비교합니다.

In[9]:=
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Activate[EntityValue[Entity["IntegralTransform", "LaplaceTransform"], "Definition"][[2]] /. f :> Function[t, ArcTan[t]]]
Out[9]=
In[10]:=
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LaplaceTransform[ArcTan[t], t, z]
Out[10]=

Z-변환의 회선 특성을 표시합니다.

In[11]:=
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Entity["IntegralTransform", "ZTransform"][ "GeneralProperties"]["Convolution"]
Out[11]=

지수 푸리에 변환과 멜린 변환의 현재 저장되어 있는 특성을 비교합니다.

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In[12]:=
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format[l_] := If[MatchQ[l, _Missing], "\[LongDash]", Activate[HoldForm @@ ({Column[l]} /. HoldPattern[ConditionalExpression[a_, b_]] :> Row[{a, Style[ " for ", Gray], b}])]]
In[13]:=
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mt = Entity["IntegralTransform", "MellinTransform"][ "GeneralProperties"]; eft = Entity["IntegralTransform", "ExponentialFourierTransform"][ "GeneralProperties"];
In[14]:=
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Grid[Take[ Flatten[{{Style[#, Bold], Style[#, Bold]}, {format@mt[#], format@eft[#]}} & /@ DeleteDuplicates[Join[Keys[mt], Keys[eft]]], 1], 10], Dividers -> All, Background -> {None, {{LightBlue, White}}}] // TraditionalForm
Out[14]//TraditionalForm=

관련 예제

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