Модели трения 

In[5]:=

X GraphicsRow[{Plot[{pos1[t]}, {t, 0, 1}, AxesLabel -> {"t", "x"}, PlotRange -> All], Plot[{vel1[t], beltv[t]}, {t, 0, 1}, AxesLabel -> {"t", "v"}, PlotRange -> All]}, ImageSize -> 500]

In[8]:=

X GraphicsRow[{Plot[{pos2[t]}, {t, 0, 1}, AxesLabel -> {"t", "x"}, PlotRange -> All], Plot[{vel2[t], beltv[t]}, {t, 0, 1}, AxesLabel -> {"t", "v"}, PlotRange -> All]}, ImageSize -> 500]

In[11]:=

X GraphicsRow[{Plot[{pos3[t]}, {t, 0, 1}, AxesLabel -> {"t", "x"}, PlotRange -> All], Plot[{vel3[t], beltv[t]}, {t, 0, 1}, AxesLabel -> {"t", "v"}, PlotRange -> All]}, ImageSize -> 500]

In[16]:=

X GraphicsRow[{Plot[{pos4[t]}, {t, 0, 8}, AxesLabel -> {"t", "x"}, PlotRange -> All], Plot[{vel4[t], beltv[t]}, {t, 0, 8}, AxesLabel -> {"t", "v"}, PlotRange -> All]}, ImageSize -> 500]

In[17]:=

X Plot[{pos1[t], pos2[t], pos3[t], pos4[t]}, {t, 0, 2}, AxesLabel -> {"t", "x"}, PlotRange -> {0.9, 1.1}, PlotLegends -> {"viscous", "viscous+Coulomb", "viscous+Coulomb+Stribeck", "viscous+Coulomb+Stribeck+static"}, ImageSize -> 400]

In[18]:=

X coilSpring[loc_: {0, 0}, force_: 0, segments_: 4, height_: .1, endLength_: .1, thickness_: .015, ghost_: None] := Module[{f, s, e}, { f = force + 1; s = (f - 2 endLength)/(segments + .5); e = endLength + s/4; GraphicsGroup[{ Black, Flatten@{ Thickness[thickness], JoinForm["Round"], CapForm["Butt"], If[ghost === "Ghost", GrayLevel[0, .2], Black], Line[Flatten[{{loc + {0, 0}, loc + { endLength, 0}}, Flatten[ Table[{loc + { e + a s, -height}, loc + {e + a s + .5 s, height}}, {a, 0, segments - 1}], 1], {loc + {f - e, -height}, loc + {f - endLength, 0}, loc + {f - endLength, 0}, loc + {f, 0}}}, 1]], If[ ghost =!= "Ghost", {White, CapForm["Round"], Thickness[.5 thickness], Line[{loc + {0, 0}, loc + { endLength, 0}}], Table[Line[{loc + { e + a s, -height}, loc + {e + a s + .5 s, height}}], {a, 0, segments - 1}], Line[{loc + {f - e, -height}, loc + {f - endLength, 0}}], Line[{loc + {f - endLength, 0}, loc + {f, 0}}]}]} }] }];

In[19]:=

X conveyorBelt[loc_: {0, 0}, speed_: 0, length_: 2, height_: .4] := Module[{p, l}, { GraphicsGroup[{ LightGray, EdgeForm[{Black}], Disk[loc + {0, -height/2}, height/2], Disk[loc + {length, -height/2}, height/2], Black, AbsoluteThickness[2], Circle[loc + {0, -height/2}, height/2, {Pi/2, 3 Pi/2}], Circle[loc + {length, -height/2}, height/2, {-Pi/2, Pi/2}], Line[{loc + {0, 0}, loc + {length, 0}}], Line[{loc + {0, -height}, loc + {length, -height}}], AbsolutePointSize[10], Point[loc + {0, -height/2}], Point[loc + {length, -height/2}], (* movement *) l = ((2 Pi height/2) + 2 length)/990;(* last number is path divisions >>> (0,#) *) p = Partition[ Flatten@{ Table[loc + {a, 0}, {a, 0, length, l}], Table[loc + {length, -height/2} + height/2 {Sin[a], Cos[a]}, {a, 0, Pi, (Pi/(2 Pi height/4)) l}], Table[loc + {a, -height}, {a, length, 0, -l}], Table[loc + {0, -height/2} + height/2 {Sin[a], Cos[a]}, {a, Pi, 2 Pi, (Pi/(2 Pi height/4)) l}] }, 2, 2, 1, {}]; White, AbsolutePointSize[3], Array[Point[p[[speed + #]]] &, 5] }] }];

Play Animation » Stop Animation »

Моделирование бруска на движущейся конвейерной ленте, прикреплённого к стене с помощью пружины, используя различные модели для силы трения . Сравнение координат и скоростей бруска для различных моделей. Вышестоящая анимация показывает окончательное уточнение модели, включающее четыре типа трения: вязкое трение, Кулоново трение, трение Страйбека и статическое трение.

X \!\(\* GraphicsBox[{ {Opacity[0], RectangleBox[{-0.1, -0.5}, {2.8, 0.6}], GraphicsGroupBox[ {GrayLevel[0], {GrayLevel[0], Thickness[0.01], Opacity[0.2], CapForm["Butt"], JoinForm["Round"], LineBox[{{0, 0}, {0.25, 0}, {0.2727272727272727, -0.1}, { 0.3181818181818182, 0.1}, {0.36363636363636365`, -0.1}, { 0.4090909090909091, 0.1}, {0.45454545454545453`, -0.1}, { 0.5, 0.1}, {0.5454545454545454, -0.1}, {0.5909090909090908, 0.1}, {0.6363636363636364, -0.1}, {0.6818181818181818, 0.1}, {0.7272727272727273, -0.1}, {0.75, 0}, {0.75, 0}, {1, 0}}]}}]}, {GrayLevel[0], Opacity[0.2], EdgeForm[None], RectangleBox[{1., -0.2}, {1.5, 0.2}], {Opacity[1], GraphicsGroupBox[ {GrayLevel[0], {GrayLevel[0], Thickness[0.015], CapForm["Butt"], JoinForm["Round"], LineBox[{{0, 0}, {0.25, 0}, {0.3136363636363636, -0.1}, { 0.44090909090909086`, 0.1}, {0.5681818181818181, -0.1}, { 0.6954545454545453, 0.1}, {0.8227272727272726, -0.1}, { 0.95, 0.1}, {1.0772727272727272`, -0.1}, { 1.2045454545454544`, 0.1}, {1.3318181818181816`, -0.1}, { 1.4590909090909088`, 0.1}, {1.5863636363636364`, -0.1}, { 1.65, 0}, {1.65, 0}, {1.9, 0}}], {GrayLevel[1], Thickness[0.0075], CapForm["Round"], LineBox[{{0, 0}, {0.25, 0}}], LineBox[{{0.3136363636363636, -0.1}, {0.44090909090909086`, 0.1}}], LineBox[{{0.5681818181818181, -0.1}, {0.6954545454545453, 0.1}}], LineBox[{{0.8227272727272726, -0.1}, {0.95, 0.1}}], LineBox[{{1.0772727272727272`, -0.1}, {1.2045454545454544`, 0.1}}], LineBox[{{1.3318181818181816`, -0.1}, {1.4590909090909088`, 0.1}}], LineBox[{{1.5863636363636364`, -0.1}, {1.65, 0}}], LineBox[{{1.65, 0}, {1.9, 0}}]}}}], {GrayLevel[0], AbsoluteThickness[0.5], LineBox[{{0, 0.34}, {0.45, 0.34}}], {Arrowheads[Small], ArrowBox[{{0.55, 0.34}, {1, 0.34}}], LineBox[{{1, 0.25}, {1, 0.4}}], {GrayLevel[0], AbsoluteThickness[0.5], LineBox[{{0, 0.5}, {0.8999999999999999, 0.5}}], {Arrowheads[Small], ArrowBox[{{1., 0.5}, {1.9, 0.5}}], LineBox[{{1.9, 0.25}, {1.9, 0.55}}], {GrayLevel[0.85], EdgeForm[GrayLevel[0]], RectangleBox[{-0.05, -0.1}, {0.05, 0.6}]}, {Hue[0.6, 0.3, 0.9], Opacity[1], EdgeForm[GrayLevel[0]], RectangleBox[{1.9, -0.2}, {2.4, 0.2}], GraphicsGroupBox[ {GrayLevel[0.85], EdgeForm[GrayLevel[0]], GraphicsGroupBox[{ DiskBox[{0, -0.30000000000000004`}, 0.1], DiskBox[{2.5, -0.30000000000000004`}, 0.1], {GrayLevel[0], AbsoluteThickness[2], GraphicsGroupBox[{ CircleBox[{0, -0.30000000000000004`}, 0.1, { 1.5707963267948966`, 4.71238898038469}], CircleBox[{2.5, -0.30000000000000004`}, 0.1, {-1.5707963267948966`, 1.5707963267948966`}], LineBox[{{0, -0.2}, {2.5, -0.2}}], LineBox[{{0, -0.4}, {2.5, -0.4}}], {AbsolutePointSize[4], GraphicsGroupBox[{ PointBox[{0, -0.30000000000000004`}], PointBox[{2.5, -0.30000000000000004`}]}]}, {GrayLevel[0.8], AbsolutePointSize[2], PointBox[{0., -0.2}], PointBox[{0.056851702330484435`, -0.2}], PointBox[{0.11370340466096887`, -0.2}]}}]}}]}], {GrayLevel[0], AbsoluteThickness[1], Arrowheads[Medium], ArrowBox[{{1.7, -0.26}, {2, -0.26}}]}, {Hue[0, 1, 0.8], AbsoluteThickness[2], Opacity[1], Arrowheads[Medium], ArrowBox[{{2.13, 0.1}, {1.65, 0.1}}]}, {Hue[0, 1, 0.8], AbsoluteThickness[2], Opacity[1], Arrowheads[Medium], ArrowBox[{{2.17, 0.1}, {2.65, 0.1}}], {GrayLevel[0], InsetBox[ StyleBox["\<\"m\"\>", StripOnInput->False, FontSize->12, FontSlant->Italic], {2.15, -0.05}], InsetBox[ StyleBox["\<\"x\"\>", StripOnInput->False, FontSize->12, FontSlant->Italic], {0.95, 0.5}], InsetBox[ StyleBox["\<\"l\"\>", StripOnInput->False, FontSize->12, FontSlant->Italic], {0.5, 0.34}], InsetBox[ StyleBox["\<\"\\!\\(\\*SubscriptBox[\\(F\\), \\(s\\)]\\)\"\>", StripOnInput->False, FontSize->12], {1.65, 0.2}, {-1, 0}], InsetBox[ StyleBox["\<\"\\!\\(\\*SubscriptBox[\\(F\\), \\(f\\)]\\)\"\>", StripOnInput->False, FontSize->12], {2.65, 0.2}, {1, 0}]}}}}}}}}}}, ImageSize->{299., Automatic}]\)

In[1]:=

X m = l = 1.; beltv[t_] = .1; spring[x_] = 1000. (l - x);

Вязкое трение является пропорциональным относительной скорости .

In[2]:=

X sys := {m x''[t] == spring[x[t]] + friction[x'[t]], x[0] == 1, x'[0] == 0};

In[3]:=

X viscous[v_] := -30. (v - beltv[t]); friction[v_] := viscous[v];

In[4]:=

X {pos1, vel1} = NDSolveValue[sys, {x, x'}, {t, 0, 2}];

Брусок быстро переходит в устойчивое положение.

Out[5]=

Кулоново трение является пропорциональным знаку относительной скорости .

In[6]:=

X coulomb[v_] := -25. Sign[v - beltv[t]]; friction[v_] := viscous[v] + coulomb[v];

In[7]:=

X {pos2, vel2} = NDSolveValue[sys, {x, x'}, {t, 0, 20}];

С учётом в модели силы трения Кулона, брусок первоначально остаётся "прилипшим" к конвейерной ленте, прежде чем перейти в положение равновесия.

Out[8]=

Трение Страйбека является уточнением закона Кулона .

In[9]:=

X stribeck[v_] := -.3 Sign[v] Exp[-2 Abs[v]]; friction[v_] := viscous[v] + coulomb[v] + stribeck[v];

In[10]:=

X {pos3, vel3} = NDSolveValue[sys, {x, x'}, {t, 0, 20}];

Относительный эффект учёта трения Срайбека в модели незначителен.

Out[11]=

Статическое трение удерживает брусок на месте до тех пор, пока сила, прикладываемая пружиной не превысит пороговое значение , которое зависит от шероховатости соприкасающихся поверхностей.

In[12]:=

X friction[v_] := viscous[v] + coulomb[v] + stribeck[v];

In[13]:=

X staticsys := {x''[t] == If[stuck[t] == 1, beltv'[t], spring[x[t]] + friction[x'[t]]], x[0] == 1, x'[0] == 0};

In[14]:=

X \[Mu] = 100; stick = WhenEvent[x'[t] == beltv[t], stuck[t] -> Boole[spring[x[t]]^2 < \[Mu]^2]]; slip = WhenEvent[spring[x[t]]^2 > \[Mu]^2, stuck[t] -> 0];

In[15]:=

X {pos4, vel4} = NDSolveValue[{staticsys, stick, slip, stuck[0] == 0}, {x, x'}, {t, 0, 8}, DiscreteVariables -> stuck[t]];

Брусок многократно "прилипает" к конвейерной ленте под воздействием сил трения и потом соскальзывает в обратном направлении под воздействием силы, создаваемой пружиной.

Out[16]=

Сравнение последовательно уточняемых моделей.

Out[17]=