Задачи на собственные значения 

Нахождение собственной функции для уравнения Шрёденгера с потенциалом в форме конечной прямоугольной ямы , , , где — функция потенциала в форме прямоугольной ямы глубины 5.

In[1]:=

X W[x_] := If[Abs[x] < 1, 0, 5]; Plot[W[x], {x, -5, 5}, Filling -> {1 -> 0}, PlotLabel -> W, ImageSize -> Medium]

Out[1]=

Начнём с построения графиков решений уравнения для .

In[2]:=

X pfun = ParametricNDSolveValue[{-y''[x] + W[x] y[x] == \[Lambda] y[x], y[0] == 1, y'[0] == 0}, y, {x, -50, 50}, {\[Lambda]}]; Plot[Evaluate@Table[pfun[\[Lambda]][x], {\[Lambda], 0, 5, 1}], {x, -2, 2}, ImageSize -> Medium]

Out[2]=

Собственные функции удовлетворяют условию . Их можно апроксимировать решениями , удовлетворяющими . Поскольку уравнение является симметричным по , достаточно найти решения, удовлетворяющие . Построим график значения для .

In[3]:=

X Plot[pfun[\[Lambda]][5], {\[Lambda], 0, 13}, ImageSize -> Medium]

Out[3]=

Корень является приближением собственного значения.

In[4]:=

X val = Map[FindRoot[pfun[\[Lambda]][5], {\[Lambda], #}] &, {-2}]

Out[4]=

Построение графиков приближений собственной функции и самой собственной функции вблизи соответствующего собственного значения .

In[5]:=

X Show[Plot[ Evaluate@Table[pfun[\[Lambda]][x], {\[Lambda], 1, 3, .1}], {x, -6, 6}, PlotRange -> {-1, 1}, PlotStyle -> Lighter[Gray, .5]], Plot[Evaluate[pfun[\[Lambda]][x] /. val], {x, -6, 6}, PlotStyle -> Thick], ImageSize -> Medium]

Out[5]=