Чувствительность уравнений Лоренца 

Визуализация чувствительности уравнений Лоренца относительно параметра.

In[1]:=

X leqns = {Derivative[1][x][t] == -3 (x[t] - y[t]), Derivative[1][y][t] == -x[t] z[t] + \[Sigma] x[t] - y[t], Derivative[1][z][t] == x[t] y[t] - z[t]};

In[2]:=

X pl = ParametricNDSolveValue[{leqns, x[0] == z[0] == 0, y[0] == 1}, Function[Evaluate[{x[#], y[#], z[#]}]], {t, 0, 15}, \[Sigma]];

График решения показывает часть классического аттрактора Лоренца. Цвет изменяется от красного к синему по мере течения времени.

In[3]:=

X ParametricPlot3D[pl[28][t], {t, 0, 15}, ColorFunction -> (Hue[.8 #4] &)]

Out[3]=

Производная по параметру показывает насколько чувствительным являются решения к изменениям в . Цвета отвечают тем же временным значениям, что и на графике сверху.

In[4]:=

X ParametricPlot3D[pl'[28][t], {t, 0, 15}, PlotRange -> All, ColorFunction -> (Hue[.8 #4] &)]

Out[4]=

Решения с близкими значениями параметра быстро расходятся. Большое значение чувствительности является указанием на то, что это очень вероятно.

In[5]:=

X ParametricPlot3D[{pl[28][t], pl[28.1][t], pl[27.9][t]}, {t, 0, 15}, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Blue, Red, Green}]

Out[5]=

Ещё один способ визуализации чувствительности - это рассмотрение координатного базиса в точке траектории, где одна ось направлена по касательной к траектории, а другие являются к ней ортогональными. Ортогональные направления выбраны таким образом, что одна из компонент является направлением к ближайшей точке равновесия, поскольку вблизи таких точек траектория остаётся вблизи плоскости.

In[6]:=

X equilibria[\[Sigma]_] = Select[{x[t], y[t], z[t]} /. Solve[leqns /. {x'[t] -> 0, y'[t] -> 0, z'[t] -> 0}, {x[t], y[t], z[t]}], UnsameQ[Norm[#], 0] &]

Out[6]=

In[7]:=

X sb[\[Sigma]_][t_?NumberQ] := Module[{v, eqv, o}, v = pl[\[Sigma]]; eqv = First[Nearest[Map[v[t] - # &, equilibria[\[Sigma]]], v[t], 1]]; o = Orthogonalize[{v'[t], eqv, Cross[v'[t], eqv]}]; o.pl'[\[Sigma]][t]]

In[8]:=

X ParametricPlot3D[sb[28][t], {t, 0, 15}, PlotRange -> All, ColorFunction -> (Hue[.8 #4] &), PlotRange -> All, BoxRatios -> 1, AxesLabel -> {"p", "o1", "o2"}]

Out[8]=

Наибольшая часть чувствительности имеет направление вдоль траектории.

Используя вышеупомянутое разложение, на графике можно отобразить масштаб модуля чувствительности в направлении, перпендикулярном к траектории.

In[9]:=

X Block[{\[Sigma] = 28}, ParametricPlot3D[ pl[\[Sigma]][ t] + .025 Abs[sb[\[Sigma]][t]] {0, Cos[\[Theta]], Sin[\[Theta]]}, {t, 0, 15}, {\[Theta], 0, 2 \[Pi]}, PlotPoints -> {300, 20}, Mesh -> None, PlotStyle -> Opacity[.4], BoxRatios -> 1, PlotRange -> All, ImageSize -> Medium, AxesLabel -> {"x"."y", "z"}]]

Out[9]=