Нахождение моментов в символьном виде 

Нахождение моментов диффузионного процесса Якоби в символьном виде.

In[1]:=

X j\[ScriptCapitalP][\[Alpha]_, x0_] = ItoProcess[\[DifferentialD]x[ t] == (\[Alpha] - x[t]) \[DifferentialD]t + \[Sqrt](x[ t] (1 - x[t])) \[DifferentialD]w[t], x[t], {x, x0}, t, w \[Distributed] WienerProcess[]];

In[2]:=

X moments = Table[Moment[j\[ScriptCapitalP][a, x0][t], r], {r, 1, 4}];

Вычисление их математического ожидания с помощью команды Expectation в предположении, что начальное значение процесса следует распределению BetaDistribution. Средние значения не зависят от времени, что означает, что бета-распределение является стационарным распределением диффузионного процесса Якоби.

In[3]:=

X moments = Table[Moment[j\[ScriptCapitalP][a, x0][t], r], {r, 1, 4}];; Expectation[%, x0 \[Distributed] BetaDistribution[2 a, 2 (1 - a)]]

Out[3]=

Вычисление трёхточечной корреляционной функции.

In[4]:=

X Expectation[\[Phi][Subscript[t, 1]] \[Phi][Subscript[t, 2]] \[Phi][ Subscript[t, 3]], \[Phi] \[Distributed] j\[ScriptCapitalP][a, x0]]

Out[4]=