Эффективное хранение симметричных массивов 

In[1]:=

X SymmetrizedArray[{{1, 2} -> a, {1, 3} -> b, {2, 3} -> c}, {3, 3}, Antisymmetric[{1, 2}]]; % // Normal // MatrixForm

Out[1]//MatrixForm=

Для матриц, единственными нетривиальными симметрийными свойствами могут быть симметричность и антисимметричность, но для массивов высших рангов возможности гораздо шире. Следующий рисунок иллюстрирует некоторые из них для случая массива 4-го ранга. Квадраты, окрашенные в тёплый цвет обозначают независимые компоненты, а квадраты одинакового цвета отвечают тождественным элементам. Квадраты, окрашенные в холодный цвет отвечают независимым компонентам, взятым со знаком минус, а белые квадраты отвечают элементам, равным нулю в силу симметрийного свойства.

Хранение только независимых компонент может приводить к большой экономии памяти.

In[2]:=

X normal = Array[Signature[{##}] &, ConstantArray[8, 8]]; sparse = SparseArray@normal; symmetrized = SymmetrizedArray[Range[8] -> 1, ConstantArray[8, 8], Antisymmetric[All]];

In[3]:=

X normal == sparse == symmetrized ByteCount /@ {normal, sparse, symmetrized}

Out[3]=

Out[3]=

Это позволяет осуществлять операции внешней алгебры в пространствах высокой размерности—в данном случае находим внешнее произведение внешней 4-формы и внешней 20-формы в 25-мерном пространстве.

In[4]:=

X form1 = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[], ConstantArray[25, 4], Antisymmetric[All]]; form2 = SymmetrizedArray[_ :> RandomInteger[], ConstantArray[25, 20], Antisymmetric[All]];

In[5]:=

X HodgeDual[form1 \[TensorWedge] form2] // Normal

Out[5]=