Декомпозиция Кронекера 

Команда TransferFunctionModel поддерживает использование несобственных передаточных функций. При преобразовании во временное представление, несобственная передаточная функция даёт дескрипторную модель в пространстве состояний (StateSpaceModel). Собственную и полиномиальную части передаточной функции можно отделить в модели в пространстве состояний с помощью команды KroneckerModelDecomposition.

In[1]:=

X {poly, proper} = {Subscript[a, 2] s^2 + Subscript[a, 1] s + Subscript[ a, 0], (k (s - Subscript[z, 1]))/((Subscript[\[Tau], 1 ] s + 1) (Subscript[\[Tau], 2 ] s + 1))};

In[2]:=

X tfm = TransferFunctionModel[poly + proper, s];

In[3]:=

X ssm = Simplify@Last@KroneckerModelDecomposition[StateSpaceModel[tfm]]

Out[3]=

Дескрипторная матрица является блочно-диагональной, с единичной матрицей, отвечающей состояниям собственной подсистемы и нильпотентной матрицей, отвечающей состояниям полиномиальной подсистемы.

In[4]:=

X Simplify@TransferFunctionModel[ SystemsModelExtract[ssm, All, All, 1 ;; 2], s]

Out[4]=

In[5]:=

X TransferFunctionModel[SystemsModelExtract[ssm, All, All, 3 ;; 5], s]

Out[5]=

Решение полной системы является суммой решений этих двух подсистем.

In[6]:=

X params = {k -> 1.5, Subscript[\[Tau], 1] -> 1/10, Subscript[\[Tau], 2] -> 1/4, Subscript[z, 1] -> 1, Subscript[a, 2] -> 1, Subscript[a, 1] -> 1, Subscript[a, 0] -> 2};

In[7]:=

X polyresponse = OutputResponse[TransferFunctionModel[poly, s], Sin[t], t]; properresponse = OutputResponse[TransferFunctionModel[proper, s], Sin[t], t]; totalresponse = OutputResponse[ssm, Sin[t], t];

In[8]:=

X Simplify[polyresponse + properresponse - totalresponse]

Out[8]=

In[9]:=

X Plot[Evaluate[{polyresponse, properresponse, totalresponse} /. params], {t, 0, 20}, PlotLegends -> {"poly", "proper", "total"}]

Out[9]=