Решение задач из учебников 

Нахождение математического ожидания произведения двух интегралов и , где обозначает стандартный процесс WienerProcess[].

In[1]:=

X pr = ItoProcess[{\[DifferentialD]x[t] == w[t] \[DifferentialD]t, \[DifferentialD]y[t] == t w[t] \[DifferentialD]t}, {x[t], y[t]}, {{x, y}, {0, 0}}, t, w \[Distributed] WienerProcess[]];

In[2]:=

X Expectation[ Subscript[\[ScriptCapitalI], 1][1] Subscript[\[ScriptCapitalI], 2][ 1], {Subscript[\[ScriptCapitalI], 1], Subscript[\[ScriptCapitalI], 2]} \[Distributed] pr]

Out[2]=

Сравнение с ответом, полученным другим способом.

In[3]:=

X Integrate[ Expectation[t w[t] w[s], w \[Distributed] WienerProcess[]], {t, 0, 1}, {s, 0, 1}]

Out[3]=

Используя формулу Ито, проверьте, что случайный процесс является мартингалом относительной фильтрации, генерируемой процессом Винера .

In[4]:=

X x\[ScriptCapitalP] = ItoProcess[{0, 1, (w[t] + t) Exp[-t/2 - w[t]]}, {w, 0}, t]

Out[4]=

Применение формулы Ито путём преобразования процесса x в его стандартную форму. Коэффициент сноса стандартного процесса Ито должен равнятся нулю для того, чтобы процесс был мартингалом.

In[5]:=

X ItoProcess[x\[ScriptCapitalP]]

Out[5]=

Непосредственное доказательство мартингального свойства.

In[6]:=

X Expectation[(w[t] + t) Exp[-w[t] - t/2] \[Conditioned] w[s] == ws, w \[Distributed] WienerProcess[], Assumptions -> 0 < s < t]

Out[6]=