Principales caractéristiques de Mathematica utilisées pour le vélodrome olympique

« Certaines des équations qui décrivaient la piste étaient impossibles à résoudre analytiquement et lentes à résoudre numériquement. Pour éviter cet obstacle potentiel, j'ai fait un usage intensif de la fonction d'interpolation de Mathematica pour créer des fonctions d'interpolation inversibles et rapides à calculer qui étaient (dans les limites de mes tolérances) numériquement identiques aux fonctions qu'elles modélisaient. »

Quelques notes du concepteur Chris Nadovich

Tableaux symboliques multidimensionnels

Chacune des quelque 20 000 pièces uniques de tubes d'acier était spécifiée dans Mathematica par une structure de données multidimensionnelle qui donnait la forme de la pièce, ainsi que sa position et son orientation en 3D. Certaines entrées de cette structure de données étaient numériques, d'autres symboliques. Par exemple, le diamètre du tube était connu numériquement à l'avance, mais ni le nombre de tubes, ni leur position, ni d'autres dimensions (y compris les angles pour les coupes d'extrémité à triple onglet) n'étaient connus. Ces inconnues ont été spécifiées symboliquement.

Nos considérations sur le lieu (forme et taille globales), les considérations sur la possibilité de rouler à vélo et les idées de conception de la fabrication mécanique ont ensuite été incorporées pour contraindre et relier les positions des pièces dans un modèle global. Cela s'est fait, dans une large mesure, en appliquant des manipulations symboliques de géométrie analytique aux pièces de base. J'ai essentiellement coupé, soulevé, fait pivoter, puis traduit les 75 tonnes d'acier en utilisant des transformées symboliques de coordonnées et d'autres techniques algébriques. Je peux dire d'expérience que soulever une poutre d'acier de 7,3 mètres à l'aide d'une transformée de coordonnées est beaucoup plus facile que de la soulever à la main.

Résolution d'équations non linéaires

Le modèle hybride symbolique/numérique de la piste qui en a résulté a donné lieu à un système de milliers d'équations non linéaires qu'il serait impossible à un être humain de formuler, et encore moins de résoudre. Cependant, avec Mathematica, je n'ai jamais été obligé de diviser arbitrairement le problème en problèmes symboliques et numériques distincts. Je pouvais laisser l'énoncé du problème et les contraintes dans leur forme naturelle et laisser la machine faire le travail algébrique nécessaire.

Ma méthode d'utilisation des équations symboliques s'est avérée essentielle lorsque, au cours du projet, diverses contraintes ont dû être modifiées. Comme mon code Mathematica ne contenait aucune réduction numérique a priori des contraintes symboliques, j'ai pu rapidement et facilement reformuler le problème et le résoudre à nouveau.

Graphiques intégrés

Une autre fonction de Mathematica que j'ai utilisée à bon escient est sa capacité à intégrer des graphiques calculés dynamiquement dans le modèle. À divers endroits cruciaux du modèle de piste, j'ai ajouté des notes et des graphiques qui contrôlaient divers paramètres de la piste (par exemple, les longueurs, les angles, les courbes et même certains rendus 3D) à des fins d'assurance qualité. Si je modifiais une contrainte d'entrée de manière à ce que la conception globale varie de façon étrange et inattendue, j'étais en mesure d'identifier rapidement la cause de ce comportement en parcourant les graphes des résultats intermédiaires que j'avais éparpillés dans le notebook.

Fonctions d'interpolation

Certaines des équations qui décrivaient la piste étaient impossibles à résoudre analytiquement et lentes à résoudre numériquement. Pour éviter cet obstacle potentiel, j'ai fait un usage intensif de la fonction Interpolation de Mathematica pour créer des fonctions d'interpolation inversibles et rapides à calculer qui étaient (dans les limites de mes tolérances) numériquement identiques aux fonctions qu'elles modélisaient. Par exemple, les intégrales de Fresnel qui ont servi de base à la courbe du vélodrome sont coûteuses à calculer. Elles peuvent être transformées en fonctions d'interpolation inversibles et relativement peu coûteuses de la manière suivante :

CurveX=
Interpolation@
Table[{b,NIntegrate[Sin[a t^2 /2], {t,0,b}]}, {b,-L,L,dl}];

En choisissant correctement dl, cette fonction d'interpolation, CurveX[t], devient un remplacement rapide et précis de l'intégrale de Fresnel réelle. Cette fonction de Mathematica a permis à elle seule de réduire le temps de calcul global de plusieurs ordres de grandeur, sans sacrifier la précision. Souvent, les gens se plaignent que les moteurs de mathématiques symboliques peuvent vous laisser en plan lorsque votre problème se réduit à une forme symboliquement ou numériquement intraitable. J'ai découvert qu'avec Mathematica les outils étaient toujours là pour me sortir du pétrin que je m'étais créé.

Mise en forme flexible de la sortie

Le résultat final des calculs effectués par Mathematica a été une spécification entièrement numérique de chaque pièce d'acier de la piste. Les capacités flexibles de mise en forme des sorties de Mathematica ont été utilisées pour produire des sorties sous la forme de listes multidimensionnelles de faces en 3D. Ces listes ont été saisies directement dans une application de CAO pour produire facilement des dessins de fabrication mécanique.

Je dois souligner que, contrairement à la façon dont la conception mécanique est habituellement réalisée aujourd'hui, l'application de CAO n'a pas été utilisée pour tracer la surface de la piste de quelque façon que ce soit ou pour effectuer des calculs dimensionnels. Son utilisation a été limitée uniquement à l'assurance qualité finale, à l'ajout de bordures, de notes, d'étiquettes et de blocs de titres officiels et à la production du rendu officiel final du traceur. En un sens, Mathematica a servi d'opérateur CAO automatisé. Il a traduit ma conception technique de haut niveau en un ensemble de plans spécifiques et complets, partie par partie. Un travail normalement effectué par un concepteur humain.