Wolfram言語

画像処理と信号処理

グレートソルト湖の波

ImageMeshを使うと,画像セグメントをBoundaryMeshRegionオブジェクトに変換することができる.これらのメッシュ領域は,有限要素法(FEM)等の他の分野での関数の利用を可能にする.

このFEMとの関連を示すために,ユタ州のグレートソルト湖の表面の波の主要なモードを求める.

In[1]:=
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img = EntityValue[Entity["Lake", "GreatSaltLake::yw8cf"], "Image"]
Out[1]=

画像を平均シフトフィルタで正規化する.

In[2]:=
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img2 = MeanShiftFilter[img, 3, 0.1]
Out[2]=

領域拡張法を使ってセグメンテーションを得る.

In[3]:=
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mask = RegionBinarize[img2, \!\(\* GraphicsBox[ TagBox[RasterBox[CompressedData[" 1:eJzt1jEKwkAQQNFdK0uv4C1sLW0VD6AYxSZCFMRzCJ7XiF3SzFb7lf8ggUCK D8MmM99f1sdJSuk67W/r3X3ZdbvHZtY/bNvr+dQ2h1V7a05Nt9h/Xnv21ytJ kiRJkiRJkn5H7tVuGLMqzqo4q+KsiuNW8bKsimNWfbNwXVbF5Yzuqp0xZFUB dBaui5kF/T5AsxJ1jNAsq0qgs3BlOSPDMrMLmvUBDcNnsbqov2x4FrWrdscA NIu6SjCzoEOEZlGniF5Ta0eMmVXCqjjmCJlV5KzaDWNWxXGreFnMKvAIazeM MUfIXEmtKsCs8hSWsCrOqjhmlSRJkiRJkvS/3tRrD1M= "], {{0, 147}, {150, 0}}, {0, 1}, ColorFunction->GrayLevel], BoxForm`ImageTag["Bit", ColorSpace -> Automatic, Interleaving -> None], Selectable->False], DefaultBaseStyle->"ImageGraphics", ImageSizeRaw->{150, 147}, PlotRange->{{0, 150}, {0, 147}}]\), 1/5]
Out[3]=

湖の表面のBoundaryMeshRegionオブジェクトを取り出す.

In[4]:=
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\[ScriptCapitalR] = ImageMesh[mask]
Out[4]=

湖の表面のメッシュを作成する.

In[5]:=
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\[CapitalOmega] = TriangulateMesh[\[ScriptCapitalR], MaxCellMeasure -> 8]
Out[5]=

湖の領域内のラプラシアンの固有関数を求めることによって,湖の表面の波動方程式を解く.

In[6]:=
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\[ScriptCapitalL] = -\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\), \(2\)]\(\[CurlyPhi][x, y]\)\);

境界条件を使う.

In[7]:=
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\[ScriptCapitalB] = DirichletCondition[\[CurlyPhi][x, y] == 0, True];

固有関数Φの正規直交基底を固有値Λで生成する.

In[8]:=
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{\[CapitalLambda], \[CapitalPhi]} = NDEigensystem[{\[ScriptCapitalL], \[ScriptCapitalB]}, \[CurlyPhi][x, y], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], 64];

最初の6個の振動モードを表示する.

In[9]:=
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GraphicsGrid[ Partition[ Table[ContourPlot[\[CapitalPhi][[ k]], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], PlotRange -> All, PlotLabel -> \[CapitalLambda][[k]], PlotTheme -> "Minimal"], {k, 6}], 3 ], ImageSize -> 512 ]
Out[9]=

減衰振動モードの時間的進化は以下で与えられる.

In[10]:=
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\[CapitalTheta][\[Lambda]_, \[Xi]_, t_] = FullSimplify[ DSolveValue[Join[{ \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t, t\)]\(\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[ t]\)\) + \[Xi] \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\(TraditionalForm\`\ \[CurlyTheta]\)[ t]\)\) == -\[Lambda] \!\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[ t] }, {\!\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[0] == 1, \[CurlyTheta]'[0] == 0} ], \!\(TraditionalForm\`\[CurlyTheta]\)[t], t], {\[Lambda] > 0, \[Xi] > 0, \[Xi]^2 < 4 \[Lambda], t \[Element] Reals} ]
Out[10]=

固有関数の初期摂動を拡張し,それらを時間で進化させると,湖面上の波の伝播のシミュレーションが得られる.

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In[11]:=
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n = 64; weights = Take[GaussianMatrix[{{n}, n/2}], -n - 1]; weights -= Last[weights]; weights = Most[weights]; weights *= 1/First[weights]; wave[t_] = (\[CapitalTheta][\[CapitalLambda], 0.005, t] weights (\[CapitalPhi] /. {x -> 50, y -> 60} )) . \[CapitalPhi]; waveColors = (Blend[{{-0.01, Purple}, {-0.005, Blue}, {0., Green}, {0.005, Orange}, {0.01, Yellow}}, #] &); anim = Table[ ContourPlot[ wave[t], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], PlotRange -> {-0.01, 0.012}, Contours -> Range[-0.01, 0.012, 0.0005], PlotTheme -> "Minimal", ColorFunctionScaling -> False, ContourStyle -> None, ColorFunction -> waveColors ], {t, 0, 255, 1} ]; ListAnimate[anim]
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