Características clave de Mathematica utilizadas para el velódromo olímpico

"Algunas de las ecuaciones que describían la pista eran imposibles de resolver analíticamente y lentas de resolver numéricamente. Para evitar este posible obstáculo, hice un uso intensivo de la función Interpolation de Mathematica para crear funciones de interpolación invertibles y de cálculo rápido que eran (dentro de mis tolerancias) numéricamente idénticas a las funciones que modelaban."

Algunas notas del diseñador Chris Nadovich

Arreglos simbólicos multidimensionales

Cada una de las aproximadamente 20,000 piezas únicas de tubería de acero fue especificada en Mathematica mediante una estructura de datos multidimensional que daba la forma de la pieza, así como su posición y orientación en 3D. Algunas de las entradas en esta estructura de datos eran numéricas y otras simbólicas. Por ejemplo, el diámetro de la tubería se conocía numéricamente de antemano, pero ni el número de tubos ni su posición u otras dimensiones (incluyendo ángulos para cortes triples en inglete) eran conocidos. Estas incógnitas se especificaron simbólicamente.

Nuestras consideraciones del recinto (forma y tamaño generales), consideraciones de ciclabilidad, y las ideas de diseño de fabricación mecánica se incorporaron luego para restringir y vincular las posiciones de las piezas en un modelo global. Esto se realizó, en gran medida, aplicando manipulaciones simbólicas de la geometría analítica a las piezas básicas. Esencialmente, corté, levanté, roté y trasladé las 75 toneladas de acero utilizando transformaciones de coordenadas simbólicas y otras técnicas algebraicas. Puedo decir por experiencia personal que levantar una viga de acero de 24 pies con una transformación de coordenadas es mucho más fácil que levantarla a mano.

Resolución de ecuaciones no lineales

El modelo híbrido simbólico/numérico resultante de la pista produjo un sistema de miles de ecuaciones no lineales que sería imposible para un humano formular, y mucho menos resolver. Sin embargo, en Mathematica nunca me vi obligado a dividir arbitrariamente el problema en problemas simbólicos y numéricos separados. Pude dejar el planteamiento del problema y las restricciones en su forma natural y permitir que la máquina realizara el trabajo algebraico necesario.

Mi método de utilizar ecuaciones simbólicas se volvió esencial cuando, durante el proyecto, varias restricciones tuvieron que modificarse. Dado que mi código en Mathematica no contenía reducciones numéricas a priori de restricciones simbólicas, pude reformular el problema rápida y fácilmente y resolverlo nuevamente.

Gráficos incrustados

Otra característica de Mathematica que utilicé con gran ventaja fue su capacidad para incrustar gráficos calculados dinámicamente junto con el modelo. En varios puntos cruciales dentro del modelo de la pista, añadí notas y gráficos que monitoreaban diversos parámetros de la pista (por ejemplo, longitudes, ángulos, curvas e incluso algunas representaciones 3D) con el propósito de control de calidad. Si variaba una restricción de entrada de manera que provocaba que el diseño global cambiara de forma extraña o inesperada, podía identificar rápidamente la causa del comportamiento revisando los gráficos de resultados intermedios que distribuí a lo largo del cuaderno

Funciones de interpolación

Algunas de las ecuaciones que describían la pista eran imposibles de resolver analíticamente y lentas de resolver numéricamente. Para evitar este posible obstáculo, hice un uso intensivo de la función Interpolation de Mathematica para crear funciones de interpolación invertibles y de cálculo rápido que eran (dentro de mis tolerancias) numéricamente idénticas a las funciones que modelaban. Por ejemplo, las integrales de Fresnel que constituían la base de la curva del velódromo son costosas de calcular. Pueden transformarse en funciones de interpolación invertibles y relativamente económicas de la siguiente manera:

CurveX=
Interpolation@
Table[{b,NIntegrate[Sin[a t^2 /2], {t,0,b}]}, {b,-L,L,dl}];

Con una elección adecuada de dl, esta función de interpolación, CurveX[t], se convierte en un reemplazo rápido y preciso de la integral de Fresnel real. Esta característica de Mathematica por sí sola redujo el tiempo total de cálculo en varios órdenes de magnitud, sin sacrificar precisión significativa. A menudo, las personas se quejan de que los motores de matemáticas simbólicas pueden dejarle sin salida cuando su problema se reduce a una forma simbólicamente o numéricamente intratable; yo encontré que con Mathematica las herramientas siempre estaban ahí para sacarme de cualquier problema que yo mismo creara.

Formateo flexible de salidas

El resultado final de los cálculos realizados por Mathematica fue una especificación completamente numérica de cada pieza única de acero en la pista. Las capacidades de formateo flexible de salida de Mathematica se utilizaron para producir resultados en forma de listas multidimensionales de caras 3D. Estas listas se introdujeron directamente en una aplicación CAD para producir convenientemente dibujos de fabricación mecánica.

Debo recalcar que, a diferencia de la forma en que normalmente se realiza hoy el diseño mecánico, la aplicación CAD no se utilizó para trazar la superficie de la pista de ninguna manera ni para realizar cálculos dimensionales. Su uso se restringió únicamente al control de calidad final, la adición de bordes oficiales de dibujo, notas, etiquetas y bloques de título, y la producción del renderizado final en plotter. En cierto sentido, Mathematica actuó como un operador CAD automatizado; tradujo mi diseño de ingeniería de alto nivel en un conjunto específico y completo de planos pieza por pieza—el trabajo que normalmente realiza un diseñador humano.