Mathematica ayuda a descubrir el número primo más grande conocido

"Mathematica es un entorno ideal para la mezcla necesaria de simbología y numérica y el tipo de exploración interactiva que conduce a un algoritmo nuevo no estándar como este."

En junio de 1999, un grupo internacional de matemáticos, científicos computacionales y aficionados, que se habían unido bajo el nombre Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), descubrió que 2^6972593-1 es primo. El número es actualmente el primo más grande conocido. Los descubridores aparecen oficialmente como N. Hajratwala, G. Woltman y S. Kurowski, siendo la primera persona el voluntario cuya máquina encontró el primo y las últimas las arquitectas de software/red. Este primo tiene 2,098,960 dígitos decimales y, por lo tanto, califica para un premio de 50,000 dólares de la Electronic Frontier Foundation. Un dato interesante es que a principios de la década de 1990 Mathematica desempeñó un papel importante en hacer posible el descubrimiento.

Primero, un poco de perspectiva histórica: los números primos de la forma 2^q-1 se llaman "primos de Mersenne" por el monje francés Marin Mersenne (1588–1648), quien los discutió en su correspondencia con el gran Fermat. Los primos de Mersenne han desempeñado durante mucho tiempo un papel importante en la teoría de números, por ejemplo, for example, en la teoría de los llamados números perfectos y en la criptografía, donde ciertos campos algebraicos disfrutan de una aritmética eficiente basada en Mersenne. Aunque los primos de Mersenne se han estudiado durante siglos, aún permanecen muchas preguntas fundamentales, incluyendo si existe un número infinito de ellos.

La única manera de determinar si un número muy grande es realmente primo es ejecutar lo que se conoce como prueba de primalidad, la cual en el caso de los primos de Mersenne puede ser una manifestación eficiente conocida como la prueba de Lucas-Lehmer. La prueba de Lucas-Lehmer implica elevar al cuadrado números gigantes, números con miles o millones de dígitos.

Para tal aritmética, el algoritmo subyacente, una "transformada discreta ponderada de base irracional" (IBDWT), fue desarrollado a principios de la década de 1990 por R. Crandall en Reed College y NeXT, Inc., usando Mathematica como entorno de prototipado. Fue este algoritmo el que Woltman convirtió a mediados de la década de 1990 en una variante en ensamblador, completando así el ciclo de prototipado/desarrollo para el cual Mathematica es ideal.

La idea del IBDWT es expandir números gigantes en una base irracional. Luego se aplica una transformada discreta ponderada, una variante de la FFT clásica, para multiplicar o elevar al cuadrado números en esta base con una velocidad sin precedentes. Según Crandall: "Mathematica es un entorno ideal para la mezcla necesaria de simbología y numérica y el tipo de exploración interactiva que conduce a un algoritmo nuevo no estándar como este".

Un póster mural de números primos, que muestra todos los dígitos decimales (más de dos millones) del número primo récord, está disponible en Perfectly Scientific, Inc.