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Mathematikaufgaben

Die Wolfram Language ist eine exzellente Plattform, um sich mit kniffligen Matheaufgaben und Rästeln zu befassen. Sobald du mit den Prinzipien vertraut bist, ist das Herumprobieren ganz einfach.

Angenommen, du möchtest die Anzahl der positiven ganzen Zahlen bis 1 000 000, die keine gemeinsamen Faktoren mit 1 000 000 haben, ermitteln.

Du könntest zuerst die positiven ganzen Zahlen von 1 – 1 000 000 mit CoprimeQ auf Teilerfremdheit mit 1 000 000 testen:

In[1]:=
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⨯ 
CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] // Short
Out[1]=

Wenn du False durch Nothing ersetzt, werden die False-Elemente automatisch entfernt:

In[2]:=
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⨯ 
% /. False -> Nothing // Short
Out[2]=

Ermittle anschließend die Länge der daraus resultierenden Liste:

In[3]:=
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⨯ 
Length[%]
Out[3]=

Kombiniere diese Schritte in einer Zeile:

In[4]:=
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⨯ 
Length[CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] /. False -> Nothing]
Out[4]=

Symbolische Ausdrücke ergeben oft direkte Lösungen. Gegeben sei eine positive ganze Zahl k. Kannst du eine Formel für die Summe 1k+2k+...+nk finden?

Lösung für k=2:

In[1]:=
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⨯ 
\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]
\*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)]\)
Out[1]=

Die allgemeine Lösung ist die n-te harmonische Zahl der Ordnung −k:

In[2]:=
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⨯ 
\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]
\*SuperscriptBox[\(i\), \(k\)]\)
Out[2]=

Mit eingebauten Graphiken ist es ganz einfach, geometrische Probleme zu visualisieren. Nehmen wir als Beispiel die folgende Form:

In[1]:=
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⨯ 
Labeled[Graphics[
  shape = {Rectangle[], Rectangle[{0, 1}], Rectangle[{1, 0}]}], n]
Out[1]=

Ist es möglich, diese Form mit gegebener Basislänge n mit ähnlichen Formen der Basislänge 1 aufzufüllen?

Lösung für n=2:

In[2]:=
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⨯ 
Graphics[{
  Scale[shape, 2, {0, 0}],
  {Yellow, shape},
  {Green, Translate[shape, {1, 1}]},
  {Blue, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]},
  {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]}
  }]
Out[2]=

Lösung für n=3:

In[3]:=
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⨯ 
Graphics[{
  Scale[shape, 3, {0, 0}],
  {Orange, shape},
  {Magenta, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]},
  {Green, Translate[shape, {1, 1}]},
  {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]},
  {Black, Translate[shape, {0, 4}]},
  {Blue, Translate[Rotate[shape, 180 \[Degree]], {1, 4}]},
  {Gray, Translate[shape, {2, 2}]},
  {Purple, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {4, 1}]},
  {Yellow, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {4, 0}]}
  }]
Out[3]=

Berühmte mathematische Probleme, Kopfnüsse und Aufgaben können auch durch Eingabe in natürlicher englischer Sprache abgerufen werden:

In[1]:=
X 
Tower of Hanoi 2 disk solution
Out[1]=

Viele weitere Beispiele mit detaillierten Lösungsschritten findest du im Wolfram Demonstrations Project.