Cuboide de volumen máximo
Encuentre el cuboide de volumen máximo de eje paralelo inscrito en un poliedro convexo 
.
Este ejemplo demuestra cómo la optimización de un producto de términos positivos puede expresarse en términos de restricciones de potencia-cono que pueden ser usadas con ConicOptimization para encontrar el óptimo.
Considere un poliedro convexo aleatorio 
construido como el casco convexo de puntos aleatorios.
Para el cuboide, encuentre un punto de esquina inferior 
y un vector de longitud lateral 
de manera que el cuboide se represente en Wolfram Language con 
. El volumen del cuboide es solo el producto de las longitudes laterales, así que el objetivo es maximizar 
. Si todas las esquinas del cuboide están en 
, entonces todos los puntos en el cuboide también lo están. Las esquinas pueden ser descritas por 
, donde 
está en el conjunto 
de todos los posibles n‐tuples de elementos desde 
.
El problema se convierte en:
Dado que 
no es negativo, maximizar el producto 
es igual a maximizar la media geométrica 
, la cual se sabe que es cóncava. Maximizar 
es equivalente a minimizar 
, el cual es convexo. Usando una variable auxiliar 
, reformule el problema con una función objetiva lineal -
con las restricciones adicionales 
.
El problema se convierte en:
El cono de potencia es el conjunto de 
tal que 
, y puede ser expresado en Wolfram Language con 
.
Dado que 
, la nueva restricción 
se puede cumplir para la 
no negativa y es equivalente a 
. Esto puede ser escrito como una serie de restricciones de cono de potencia
Para 
el problema se convierte en:
Un poliedro convexo puede ser representado como intersecciones de espacios medios 
. Extraiga los coeficientes 
para cada lado.
Resuelva el problema.
Muestre el cuboide con el máximo volumen inscrito.
En lugar de un poliedro, tome cualquier conjunto representable cónico convexo K⊆n—por ejemplo un elipsoide. Un vértice del cuboide 
está dentro del elipsoide si y solo si 
.
Resuelva el problema.
Grafique el resultado.
