領域上での偏微分方程式の感度を計算する: Wolfram言語 11の新機能

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領域上での偏微分方程式の感度を計算する

波動方程式 , のパラメトリック依存性を計算する．

波動方程式を指定する．

In[1]:=

eqn = D[u[t, x, y], t, t] == c^2 Laplacian[u[t, x, y], {x, y}];

初期条件を指定する．

In[2]:=

ics = {u[0, x, y] == Exp[-((a x)^2 + (b x)^2)], 
   Derivative[1, 0, 0][u][0, x, y] == 0};

ディリクレの固定境界条件を指定する．

In[3]:=

bcs = DirichletCondition[u[t, x, y] == 0, True];

パラメトリック関数を設定する．

In[4]:=

pfun = ParametricNDSolveValue[{eqn, ics, bcs}, 
   u, {t, 0, 5}, {x, y} \[Element] Disk[], {a, b, c}];

パラメータ，，について感度，，を求める．

In[5]:=

ifda = D[pfun[a, 1, 1], a] /. {a -> 1};
ifda = D[pfun[1, b, 1], b] /. {b -> 1};
ifdc = D[pfun[1, 1, c], c] /. {c -> 1};

における，，のパラメトリック関数をプロットし，感度のを解に重ね合せることによって，対応する感度帯を可視化する．

In[6]:=

Plot3D[Evaluate[(pfun[a, b, c][\[Tau], x, 
      y] + .5 {0, 1, -1} D[pfun[a, b, c][\[Tau], x, y], a]) /. {a -> 
     1, b -> 1, c -> 1, \[Tau] -> 3}], {x, y} \[Element] Disk[], 
 PlotRange -> All, Boxed -> False, Axes -> False, Mesh -> 5, 
 PlotStyle -> {Automatic, Opacity[0.3], Opacity[0.3]}]

Out[6]=