複素解析関数を構築する

軸の実部と虚部の値から始めて，複素解析関数を構築する．実部と虚部であるuとvは，コーシー・リーマン(Cauchy–Riemann)方程式を満たす．

In[1]:=

creqns = {D[u[x, y], x] == D[v[x, y], y], D[v[x, y], x] == -D[u[x, y], y]};

軸上のuとvの値を与える．

In[2]:=

xvals = {u[x, 0] == x^3, v[x, 0] == 0};

コーシー・リーマン方程式を解く．

In[3]:=

sol = DSolve[{creqns, xvals}, {u, v}, {x, y}]

Out[3]=

解が調和関数であることを確かめる．

In[4]:=

Laplacian[{u[x, y], v[x, y]} /. sol[[1]], {x, y}]

Out[4]=

解によって生成された流線と等位を可視化する．

In[5]:=

ContourPlot[{u[x, y], v[x, y]} /. sol[[1]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, ContourStyle -> {Red, Blue}]

Out[5]=

解から複素解析関数を構築する．

In[6]:=

f[x_, y_] = u[x, y] + I v[x, y] /. sol[[1]]

Out[6]=

以下は関数 を表す．

In[7]:=

(f[x, y] // Factor) /. {x + I y -> z}

Out[7]=