构建复解析函数

从其在 轴上值的实部和虚部开始构建复解析函数.

实部和虚部 u 和 v 满足柯西-黎曼（Cauchy–Riemann）方程.

In[1]:=

creqns = {D[u[x, y], x] == D[v[x, y], y], D[v[x, y], x] == -D[u[x, y], y]};

规定 轴上的 u 和 v 值.

In[2]:=

xvals = {u[x, 0] == x^3, v[x, 0] == 0};

求解柯西-黎曼方程.

In[3]:=

sol = DSolve[{creqns, xvals}, {u, v}, {x, y}]

Out[3]=

验证方程解为调和函数.

In[4]:=

Laplacian[{u[x, y], v[x, y]} /. sol[[1]], {x, y}]

Out[4]=

可视化方程解生成的流线和等势线.

In[5]:=

ContourPlot[{u[x, y], v[x, y]} /. sol[[1]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, ContourStyle -> {Red, Blue}]

Out[5]=

有方程的解构建一个复解析函数.

In[6]:=

f[x_, y_] = u[x, y] + I v[x, y] /. sol[[1]]

Out[6]=

这代表了函数 .

In[7]:=

(f[x, y] // Factor) /. {x + I y -> z}

Out[7]=