波動方程式の初期値問題を解く

波動方程式を伝播の単位速度で指定する．

In[1]:=

weqn = D[u[x, t], {t, 2}] == D[u[x, t], {x, 2}];

方程式の初期条件を与える．

In[2]:=

ic = {u[x, 0] == E^(-x^2), Derivative[0, 1][u][x, 0] == 1};

初期値問題を解く．

In[3]:=

DSolveValue[{weqn, ic}, u[x, t], {x, t}]

Out[3]=

波動は2つの特性方向に沿って伝播する．

In[4]:=

DSolveValue[{weqn, ic}, u[x, t], {x, t}]; Plot3D[%, {x, -7, 7}, {t, 0, 4}, Mesh -> None]

Out[4]=

区分的データで初期値問題を解く．

In[5]:=

ic = {u[x, 0] == UnitBox[x] + UnitTriangle[x/3], Derivative[0, 1][u][x, 0] == 0};

In[6]:=

DSolveValue[ {weqn, ic}, u[x, t], {x, t}]

Out[6]=

初期データの不連続性は，特性方向に沿って伝播される．

In[7]:=

DSolveValue[ {weqn, ic}, u[x, t], {x, t}]; Plot3D[%, {x, -7, 7}, {t, 0, 4}, PlotRange -> All, Mesh -> None, ExclusionsStyle -> Red]

Out[7]=

指数関数の和を初期データとして，初期値問題を解く．

In[8]:=

ic = {u[x, 0] == E^(-(x - 6)^2) + E^(-(x + 6)^2), Derivative[0, 1][u][x, 0] == 1/2};

In[9]:=

sol = DSolveValue[ {weqn, ic}, u[x, t], {x, t}]

Out[9]=

解を可視化する．

In[10]:=

Plot3D[sol, {x, -30, 30}, {t, 0, 20}, PlotRange -> All, Mesh -> None, PlotPoints -> 30]

Out[10]=