研究激波的形成

使用黏性流动的伯格斯方程（Burgers' equation）研究激波的形成.

In[1]:=

TraditionalForm[BurgersEquation = \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \({t}\)]\(u[x, t]\)\) + u[x, t] \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \({x}\)]\(u[x, t]\)\) == \[Epsilon] \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \({x, 2}\)]\(u[x, t]\)\)]

Out[1]//TraditionalForm=

规定一个分段初始条件.

In[2]:=

InitialCondition = u[x, 0] == Piecewise[{{1, x < 0}}];

求解初始值问题.

In[3]:=

dsol = DSolveValue[{BurgersEquation, InitialCondition}, u[x, t], {x, t}]

Out[3]=

对于任何正值 ϵ，方程的解都是光滑的.

In[4]:=

Plot3D[dsol /. {\[Epsilon] -> 1/10}, {x, -2, 2}, {t, 0.001, 5}]

Out[4]=

在 ϵ 趋近于 0 的极限点，方程的解会出现一个激波形式的不连续.

In[5]:=

Row[Table[Plot3D[dsol, {x, -2, 2}, {t, 0.001, 5}, Exclusions -> None, Ticks -> None], {\[Epsilon], {1/10, 1/100, 1/1000}}]]

Out[5]=