Untersuchen Sie die Bildung einer Stoßwelle
Verwenden Sie die viskose Burgersgleichung, um die Bildung einer Stoßwelle zu untersuchen.
In[1]:=
BurgersEquation = \[PartialD]u(x, t)/\[PartialD]t +
u(x, t) \[PartialD]u(x,
t)/\[PartialD]x == \[Epsilon] \[PartialD]^2u(x,
t)/\[PartialD]x^2;Schreiben Sie eine stückweise Anfangsbedingung vor.
In[2]:=
InitialCondition = u[x, 0] == Piecewise[{{1, x < 0}}]; Lösen Sie das Anfangswertproblem.
In[3]:=
dsol = DSolveValue[{BurgersEquation, InitialCondition},
u[x, t], {x, t}]Out[3]=
Die Lösung ist für jeden beliebigen positiven Wert von ϵ geglättet.
In[4]:=
Plot3D[dsol /. {\[Epsilon] -> 1/10}, {x, -2, 2}, {t, 0.001, 5}]Out[4]=
Die Lösung entwickelt eine Diskontinuität am Grenzwert, wenn sich ϵ 0 nähert.
In[5]:=
Row[Table[Plot3D[dsol, {x, -2, 2}, {t, 0.001, 5},
Exclusions -> None, Ticks -> None],
{\[Epsilon], {1/10, 1/100, 1/1000}}]]Out[5]=
Bestimmen Sie den Wert einer europäischen Kaufoption bei einem Basiswert und einem Ausübungspreis von 100 $, einem risikofreien Zinssatz von 6%, einer Volatilität des Basiswerts von 20%, und einer Optionslaufzeit von 1 Jahr. Verwenden Sie dazu das Black–Scholes-Modells.
In[6]:=
BlackScholesModel = {-r c(t, s) +
r s \[PartialD]c(t, s)/\[PartialD]s +
1/2 s^2 \[Sigma]^2 \[PartialD]^2c(t,
s)/\[PartialD]s^2 + \[PartialD]c(t, s)/\[PartialD]t == 0,
c(T, s) == max(s - k, 0)};Lösen Sie das Anfangswertproblem.
In[7]:=
(dsol = c[t, s] /.
DSolve[BlackScholesModel, c[t, s], {t, s}][[
1]]) // TraditionalFormOut[7]//TraditionalForm=
Berechnen Sie den Wert der europäischen Kaufoption.
In[8]:=
dsol /. {t -> 0, s -> 100, k -> 100, \[Sigma] -> 0.2, T -> 1,
r -> 0.06}Out[8]=
Vergleichen Sie diesen mit dem von FinancialDerivative berechneten Wert.
In[9]:=
FinancialDerivative[{"European", "Call"}, {"StrikePrice" -> 100.00,
"Expiration" -> 1}, {"InterestRate" -> 0.06, "Volatility" -> 0.2 ,
"CurrentPrice" -> 100}]Out[9]=
