Maxwell-Gleichungen untersuchen 

Leiten Sie die Wellengleichung eines Magnetfelds von Maxwell-Gleichungen ab.

Formulieren Sie Maxwell-Gleichungen in natürlichen Heaviside-Lorentz-Einheiten.

In[1]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];

Erstellen Sie eine schön formatierte Gleichungstabelle.

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In[2]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];; Grid[Transpose[{{"Gauss's Law for Electricity", "Gauss's Law for Magnetism", "Faraday's Law", "Ampere's Law"}, %}], Alignment -> Left, Dividers -> All, Spacings -> {4, 2}] // TraditionalForm

Out[2]//TraditionalForm=

Bilden Sie die Rotation des Ampèreschen Durchflutungsgesetz im Vakuum ( und ).

In[3]:=

X Inactive[Curl][#, {x, y, z}] & /@ ampere /. j -> (0 &)

Out[3]=

Vertauschen Sie die Differenzierungsreihenfolge.

In[4]:=

X Inactive[Curl][#, {x, y, z}] & /@ ampere /. j -> (0 &); % /. Inactivate[Curl[D[v_, t_], x_] :> D[Curl[v, x], t]]

Out[4]=

Ersetzen Sie Gleichung durch das Faradaysche Induktionsgesetz.

In[5]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];; % /. Inactivate[Curl[D[v_, t_], x_] :> D[Curl[v, x], t]]; % /. Solve[faraday, Inactive[Curl][\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}]][[1]]

Out[5]=

Das Aktivieren der Gleichung ergibt die Wellengleichung des Magnetfelds.

In[6]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];; % /. Solve[faraday, Inactive[Curl][\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}]][[1]]; wave = Activate[%]

Out[6]=

Das ist der Ausdruck der Gleichung in traditioneller Notation.

Die Lösung der Wellengleichung ist eine ebene Welle und kann durch eine einfache Substitution überprüft werden.

In[7]:=

X wave /. \[ScriptCapitalB] -> (A Exp[{kx, ky, kz}.{#1, #2, #3} - I Sqrt[kx^2 + ky^2 + kz^2] #4] &) // Simplify

Out[7]=