マクスウェル(Maxwell)の方程式を調べる 

マクスウェルの方程式から磁場に対する波動方程式を導く．

マクスウェルの方程式をヘヴィサイド・ローレンツ単位系で入力する．

In[1]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];

見やすくフォーマットされた方程式の表を作成する．

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In[2]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];; Grid[Transpose[{{"Gauss's Law for Electricity", "Gauss's Law for Magnetism", "Faraday's Law", "Ampere's Law"}, %}], Alignment -> Left, Dividers -> All, Spacings -> {4, 2}] // TraditionalForm

Out[2]//TraditionalForm=

真空でのアンペアの法則の回転を取る（で とする）．

In[3]:=

X Inactive[Curl][#, {x, y, z}] & /@ ampere /. j -> (0 &)

Out[3]=

微分の順番を入れ替える．

In[4]:=

X Inactive[Curl][#, {x, y, z}] & /@ ampere /. j -> (0 &); % /. Inactivate[Curl[D[v_, t_], x_] :> D[Curl[v, x], t]]

Out[4]=

ファラデー(Faraday)の法則を代入する．

In[5]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];; % /. Inactivate[Curl[D[v_, t_], x_] :> D[Curl[v, x], t]]; % /. Solve[faraday, Inactive[Curl][\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}]][[1]]

Out[5]=

方程式をアクティブにすると，磁場に対する波動方程式になる．

In[6]:=

X Inactivate[{gaussE = Div[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == \[Rho][x, y, z, t], gaussB = Div[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == 0, faraday = Curl[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}] == -D[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], t], ampere = Curl[\[ScriptCapitalB][x, y, z, t], {x, y, z}] == j[x, y, z, t] + D[\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], t]}, Div | Curl | D];; % /. Solve[faraday, Inactive[Curl][\[ScriptCapitalE][x, y, z, t], {x, y, z}]][[1]]; wave = Activate[%]

Out[6]=

以下は従来の表記法を使って表された方程式である．

方程式の平面波解は簡単な代入で検証できる．

In[7]:=

X wave /. \[ScriptCapitalB] -> (A Exp[{kx, ky, kz}.{#1, #2, #3} - I Sqrt[kx^2 + ky^2 + kz^2] #4] &) // Simplify

Out[7]=