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偏微分方程式

事象についての偏微分方程式を領域上で解く

三方の壁が断熱壁で,一方の壁に外気温の影響を受けるガラスの窓がある部屋における,サーモスタットで制御された発熱をモデル化する.

In[1]:=
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\[CapitalOmega] = Rectangle[{0, 0}, {3/2, 1}]; outsideTemp[t_] := 15 + 10*Sin[2 \[Pi] t/24]; kd = 0.78; Ld = 0.05; \[CapitalGamma] = NeumannValue[Ld/kd*(outsideTemp[t] - u[t, x, y]), {x == 0}];

暖房機の負荷は事象によって増加したり減少したりする.

In[2]:=
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heaterLoad = 26; heater[upQ_, t_, tEvent_] := If[upQ == 1, Min[20*Max[(t - tEvent), 0], 1], 1 - Min[20*Max[(t - tEvent - 1/8), 0], 1]]*heaterLoad

偏微分方程式は,のサイクル内で熱を生成し,ガラスの窓から熱を失いながら,空気を通した熱拡散をモデル化する.

In[3]:=
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\[Rho] = 1.225; Cp = 1005.4; With[{heating = heater[a[t], t, eventT[t]]}, pde = D[u[t, x, y], t] - \[Rho]*Cp*Laplacian[u[t, x, y], {x, y}] == If[(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 <= (2/10)^2, heating, 0] + \[CapitalGamma]];

の位置にあるサーモスタットがトリガー信号より低い(または高い)温度を測定した場合,および離散変数 が変化した場合に,暖房機はオン(またはオフ)になる.

In[4]:=
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triggerLow = 18; triggerHigh = 20; events = {a[0] == 1, eventT[0] == 0, WhenEvent[ u[t, 1.25, .25] < triggerLow, {eventT[t], a[t]} -> {If[a[t] == 0, t, eventT[t]], 1}], WhenEvent[ u[t, 1.25, .25] > triggerHigh, {eventT[t], a[t]} -> {If[a[t] == 1, t, eventT[t]], 0}]};

外気温に等しい初期条件で偏微分方程式の時間積分を観察する.

In[5]:=
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eqn = {pde, u[0, x, y] == outsideTemp[0], events}; res = Monitor[ NDSolveValue[ eqn, {u, a}, {t, 0, 2*24}, {x, y} \[Element] \[CapitalOmega], DiscreteVariables -> {eventT[t], a[t]}, EvaluationMonitor :> (monitor = Row[{"t = ", CForm[t]}])], monitor]
Out[5]=

サーモスタットで測定された温度,外気温,暖房機のトリガー信号を可視化する.暖房機がオンになっている部分は青い背景色で示されている.

In[6]:=
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hp = Plot[ 25 res[[2]][t], {t, 0, 2*24}, Filling -> Bottom, PlotStyle -> None]; Show[ Plot[{res[[1]][t, 1.25, .25], outsideTemp[t], 18, 20}, {t, 0, 2*24}], hp]
Out[6]=

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