欧几里德的《元素》
《元素》是有史以来最古老、最有影响力的数学著作之一,共有十三册,由古希腊数学家亚历山大的欧几里德所著。《元素》中描述的结构可通过 Wolfram 语言中的 GeometricScene 来表示,并用 RandomInstance 可视化。
第一卷的命题 1 指出给定任何两点 和 ,可以将 和 作为两个顶点,构建一个等边三角形。特别是,以 和 为圆心,绘制两个圆,它们的半径等于它们之间的距离。则它们的交点 即为等边三角形的第三个顶点。
第一卷的命题 22 对命题 1 进行了推广,指出任何满足 的正的 、 和 ,存在一个边长为 、 和 的三角形。
随机选择正的 、 和 ,使得 。
构建过程如下:构建一条依次穿过点 、、 和 的直线, 和 之间的距离为 , 和 之间的距离为 , 和 之间的距离为 。绘制圆心位于 ,穿过 的圆,以及圆心位于 ,穿过 的圆。如果 是这些圆的交点之一,那么 到 的距离为 , 到 的距离为 , 到 的距离为 。因此点 、 和 形成这样的一个三角形。