量子ハミルトニアン 

標準の量子力学では，系はシュレディンガー(Schrödinger)方程式 に従って発展する．ここで はハミルトニアンと呼ばれるエルミート行列である．以下は可能なハミルトニアンである．

In[1]:=

X \[ScriptCapitalH]1 = {{0, -I}, {I, 0}}; \[ScriptCapitalH]2 = {{1, 0, 1 + I}, {0, 1, 0}, {1 - I, 0, 2}};

In[2]:=

X {HermitianMatrixQ[\[ScriptCapitalH]1], HermitianMatrixQ[\[ScriptCapitalH]2]}

Out[2]=

以下の行列はエルミート行列ではないので，量子ハミルトニアンにはなれない．

In[3]:=

X bad1 = {{0, 1}, {-1, 0}}; bad2 = {{1, 0, I}, {0, 1 - I, 2}, {-I, 1 + I, 5}};

In[4]:=

X {HermitianMatrixQ[bad1], HermitianMatrixQ[bad2]}

Out[4]=

行列指数関数 は時間発展演算子と呼ばれ，時間 とプランク定数 ℏ が実数であると仮定すると常にユニタリ行列である．

In[5]:=

X u1 = MatrixExp[-((I \[ScriptCapitalH]1)/\[HBar]) t]

Out[5]=

In[6]:=

X u2 = MatrixExp[-((I \[ScriptCapitalH]2)/\[HBar]) t]

Out[6]=

In[7]:=

X Function[m, UnitaryMatrixQ[m, SameTest -> (Simplify[#1 == #2, {t, \[HBar]} \[Element] Reals] &)]] /@ {u1, u2}

Out[7]=