Wolfram Language™

Distribuição de Wishart e invertida de Wishart

A distribuição de Wishart é a distribuição da matriz de covariância de amostras de vectores aleatórios multinormais independentes. É uma generalização da distribuição em múltiplas dimensões. A distribuição aparece naturalmente em estatística multivariada como regressão, covariância, etc.

Gere uma matriz aleatória definida positiva para usar como parâmetro para a distribuição Wishart.

In[1]:=

\[CapitalSigma] = DiagonalMatrix[RandomReal[10, 5]];

Matrizes de distribuição de Wishart são simétricas e definidas positivas. »

In[2]:=

dist = WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]; mat = RandomVariate[dist];

In[3]:=

SymmetricMatrixQ[mat] && PositiveDefiniteMatrixQ[mat]

Out[3]=

A distribuição inversa Wishart é a distribuição de matrizes inversas de distribuição de Wishart. »

In[4]:=

invdist = InverseWishartMatrixDistribution[30, Inverse[\[CapitalSigma]]]; invmat = RandomVariate[invdist];

Matrizes de distribuição inversa de Wishart são simétricas e definidas positivas.

In[5]:=

SymmetricMatrixQ[invmat] && PositiveDefiniteMatrixQ[invmat]

Out[5]=

Comparar a distribuição de valores próprios para matrizes de distribuições de Wishart e inversas de Wishart.

In[6]:=

eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] dist], 10^4]]; inveigs = Flatten[RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]^-1, x \[Distributed] invdist], 10^4]];

In[7]:=

SmoothHistogram[{eigs, inveigs}, PlotLegends -> {"Wishart", "Inverse Wishart"}, Filling -> Axis, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Scientific"]

Out[7]=

Para qualquer vetor diferente de zero e matriz de Wishart com matriz de escala , a estatística é distribuída em .

In[8]:=

y = #/Sqrt[#.\[CapitalSigma].#] &[RandomReal[1, 5]]; data = RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[y.w.y, w \[Distributed] WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]], 10^4];

In[9]:=

Show[Histogram[data, Automatic, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[30], x], {x, 0, 80}], ImageSize -> Medium]

Out[9]=