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Distributions de Wishart et distributions de Wishart

La distribution de Wishart est la distribution de matrice de covariance des échantillons de vecteurs aléatoires multi-normales indépendantes. Elle est une généralisation de la distribution à plusieurs dimensions. La distribution apparaît dans les statistiques multivariées naturellement: comme la régression, la covariance, etc.

Générez une matrice définie positive aléatoire pour utiliser en tant que paramètres pour la distribution de Wishart.

In[1]:=

\[CapitalSigma] = DiagonalMatrix[RandomReal[10, 5]];

Les matrices de la distribution de Wishart sont symétriques définies positives. »

In[2]:=

dist = WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]; mat = RandomVariate[dist];

In[3]:=

SymmetricMatrixQ[mat] && PositiveDefiniteMatrixQ[mat]

Out[3]=

La distribution inverse de Wishart est la distribution des matrices inverses de la distribution de Wishart. »

In[4]:=

invdist = InverseWishartMatrixDistribution[30, Inverse[\[CapitalSigma]]]; invmat = RandomVariate[invdist];

Les matrices de la distribution inverse de Wishart sont symétriques définies positives.

In[5]:=

SymmetricMatrixQ[invmat] && PositiveDefiniteMatrixQ[invmat]

Out[5]=

Comparez la distribution des valeurs propres pour les matrices de distributions de Wishart et les distributions inverses de Wishart.

In[6]:=

eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] dist], 10^4]]; inveigs = Flatten[RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]^-1, x \[Distributed] invdist], 10^4]];

In[7]:=

SmoothHistogram[{eigs, inveigs}, PlotLegends -> {"Wishart", "Inverse Wishart"}, Filling -> Axis, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Scientific"]

Out[7]=

Pour tout vecteur non nul et de la matrice Wishart avec la matrice d'échelle , la statistique est distribuée en .

In[8]:=

y = #/Sqrt[#.\[CapitalSigma].#] &[RandomReal[1, 5]]; data = RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[y.w.y, w \[Distributed] WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]], 10^4];

In[9]:=

Show[Histogram[data, Automatic, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[30], x], {x, 0, 80}], ImageSize -> Medium]

Out[9]=