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Puzzles mathématiques

Wolfram Language est une excellente plateforme pour examiner des problèmes de mathématiques et des puzzles. Une fois que tu connais les principes, l'exploration est facile.

Supposons que tu veuilles trouver le nombre d'entiers positifs jusqu'à 1 000 000 qui n'ont pas de facteurs communs avec 1 000 000.

Tu pourrais commencer par tester les premiers millions d'entiers positifs par rapport à 1 000 000 avec CoprimeQ :

In[1]:=
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⨯ 
CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] // Short
Out[1]=

Enlève automatiquement les entrées fausses en les remplaçant par rien :

In[2]:=
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⨯ 
% /. False -> Nothing // Short
Out[2]=

Trouve ensuite la longueur de la liste obtenue :

In[3]:=
Click for copyable input
⨯ 
Length[%]
Out[3]=

Combine ces étapes en une ligne :

In[4]:=
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⨯ 
Length[CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] /. False -> Nothing]
Out[4]=

Les expressions symboliques donnent souvent des solutions directes. Étant donné un entier positif k, peux-tu trouver une formulation pour la somme 1k+2k+...+nk ?

Voici la solution pour k=2 :

In[1]:=
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⨯ 
\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]
\*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)]\)
Out[1]=

La solution générale est le nième nombre harmonique d'ordre −k :

In[2]:=
Click for copyable input
⨯ 
\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]
\*SuperscriptBox[\(i\), \(k\)]\)
Out[2]=

Avec des graphiques intégrés, il est facile de visualiser les problèmes géométriques. Considérons la figure suivante :

In[1]:=
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⨯ 
Labeled[Graphics[
  shape = {Rectangle[], Rectangle[{0, 1}], Rectangle[{1, 0}]}], n]
Out[1]=

Pour une longueur de base donnée n, est-il possible de remplir cette forme avec des formes similaires de longueur de base 1 ?

Voici la solution pour n=2 :

In[2]:=
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⨯ 
Graphics[{
  Scale[shape, 2, {0, 0}],
  {Yellow, shape},
  {Green, Translate[shape, {1, 1}]},
  {Blue, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]},
  {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]}
  }]
Out[2]=

Voici la solution pour n=3 :

In[3]:=
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⨯ 
Graphics[{
  Scale[shape, 3, {0, 0}],
  {Orange, shape},
  {Magenta, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]},
  {Green, Translate[shape, {1, 1}]},
  {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]},
  {Black, Translate[shape, {0, 4}]},
  {Blue, Translate[Rotate[shape, 180 \[Degree]], {1, 4}]},
  {Gray, Translate[shape, {2, 2}]},
  {Purple, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {4, 1}]},
  {Yellow, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {4, 0}]}
  }]
Out[3]=

Des puzzles célèbres, des énigmes et des problèmes sont disponibles via l'entrée en langage naturel :

In[1]:=
X 
Tower of Hanoi 2 disk solution
Out[1]=

Tu trouveras de nombreux exemples plus approfondis dans le projet de démonstrations Wolfram.