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Algèbre et théorie des nombres

Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits

Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme , où l'exposant premier de Mersenne est aussi un nombre premier. Chaque nombre premier de Mersenne correspond a un nombre pair parfait.

Générez une liste des exposants premiers de Mersenne.

In[1]:=
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mpe = Table[MersennePrimeExponent[n], {n, 1, 10}]
Out[1]=

Construisez les nombres premiers de Mersenne correspondants.

In[2]:=
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mp = 2^mpe - 1
Out[2]=

Construisez les nombres parfaits correspondants.

In[3]:=
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pn = 2^(mpe - 1) (2^mpe - 1)
Out[3]=
In[4]:=
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AllTrue[pn, PerfectNumberQ]
Out[4]=

Visualisez à quel point la répartition des petits exposants des nombres premiers de Mersenne est clairsemée en les colorant en rouge dans la liste des 225 premiers nombres premiers.

In[5]:=
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primes = Replace[Prime@Range[225], x_?MersennePrimeExponentQ :> Style[x, Red, Bold], 1];
In[6]:=
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Multicolumn[primes, Alignment -> {Center, Center}, Spacings -> {1, 1}, Frame -> All, FrameStyle -> Directive[Orange, Dashing[Small]]]
Out[6]=

Exemples connexes

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