Utilisez la décomposition de Smith pour analyser un réseau
Considérez le réseau généré par des multiples entiers des vecteurs et .
In[1]:=
b1 = {3, -3};
b2 = {2, 1};
In[2]:=
ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[3]:=
graphicsb =
Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
Out[3]=
Soit la matrice dont les rangées sont et .
In[4]:=
m = {b1, b2};
Les trois matrices de Smith donnent la décomposition qui satisfont l'identité .
In[5]:=
{u, r, v} = SmithDecomposition[m];
In[6]:=
u.m.v == r
Out[6]=
Les matrices et ont des entrées de nombre entier et un facteur déterminant.
In[7]:=
{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}
Out[7]=
La matrice est entière et diagonale. De ses entrées, on peut voir que la structure du groupe est ou simplement , comme est le groupe trivial.
In[8]:=
r // MatrixForm
Out[8]//MatrixForm=
Le fait de multiplier l'identité à droite par donne . Le fait que est entier et déterminant , génère le même réseau que mais est plus simple.
In[9]:=
g = r.Inverse[v];
g // MatrixForm
Out[9]//MatrixForm=
Visualisez le réseau engendré par les rangées de .
In[10]:=
ptsg = Flatten[
Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[11]:=
graphicsg =
Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
Out[11]=
Avec la superposition du nouveau réseau sur l'original, on peut voir qu'ils sont identiques.
In[12]:=
Show[{graphicsb, graphicsg}]
Out[12]=