Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits

Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme , où l'exposant premier de Mersenne est aussi un nombre premier. Chaque nombre premier de Mersenne correspond a un nombre pair parfait.

Générez une liste des exposants premiers de Mersenne.

In[1]:=

mpe = Table[MersennePrimeExponent[n], {n, 1, 10}]

Out[1]=

Construisez les nombres premiers de Mersenne correspondants.

In[2]:=

mp = 2^mpe - 1

Out[2]=

Construisez les nombres parfaits correspondants.

In[3]:=

pn = 2^(mpe - 1) (2^mpe - 1)

Out[3]=

In[4]:=

AllTrue[pn, PerfectNumberQ]

Out[4]=

Visualisez à quel point la répartition des petits exposants des nombres premiers de Mersenne est clairsemée en les colorant en rouge dans la liste des 225 premiers nombres premiers.

In[5]:=

primes = Replace[Prime@Range[225], x_?MersennePrimeExponentQ :> Style[x, Red, Bold], 1];

In[6]:=

Multicolumn[primes, Alignment -> {Center, Center}, Spacings -> {1, 1}, Frame -> All, FrameStyle -> Directive[Orange, Dashing[Small]]]

Out[6]=