スミス(Smith)分解を使って，格子を解析する

ベクトル と の倍数である整数によって生成された格子 を考える．

In[1]:=

b1 = {3, -3}; b2 = {2, 1};

In[2]:=

ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

In[3]:=

graphicsb = Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10, Axes -> True]

Out[3]=

を，行が と の行列とする．

In[4]:=

m = {b1, b2};

スミス分解は恒等式 を満足する3つの行列を与える．

In[5]:=

{u, r, v} = SmithDecomposition[m];

In[6]:=

u.m.v == r

Out[6]=

行列 と は整数の要素と行列式1を持つ．

In[7]:=

{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}

Out[7]=

行列 は整数であり対角行列である．その項目から，は自明群なので，群 の構造は（単純に ）であることが分かる．

In[8]:=

r // MatrixForm

Out[8]//MatrixForm=

恒等式 に を掛けると になる． は整数であり，行列式はなので， は と等しいが格段に単純な格子を生成する．

In[9]:=

g = r.Inverse[v]; g // MatrixForm

Out[9]//MatrixForm=

の行によって生成された格子を可視化する．

In[10]:=

ptsg = Flatten[ Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

In[11]:=

graphicsg = Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10, Axes -> True]

Out[11]=

新しい格子をもとの格子に重ねると，両方同じであることが確認できる．

In[12]:=

Show[{graphicsb, graphicsg}]

Out[12]=