Use a decomposição de Smith para analisar um reticulado

Considere o reticulado gerados pelos números inteiros múltiplos dos vetores e .

In[1]:=

b1 = {3, -3}; b2 = {2, 1};

In[2]:=

ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

In[3]:=

graphicsb = Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10, Axes -> True]

Out[3]=

Permita que seja a matriz cujas linhas são e .

In[4]:=

m = {b1, b2};

A decomposição Smith dá três matrizes que satisfazem a identidade .

In[5]:=

{u, r, v} = SmithDecomposition[m];

In[6]:=

u.m.v == r

Out[6]=

As matrizes e possuem entradas de números inteiros e um fator determinante.

In[7]:=

{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}

Out[7]=

A matriz é um número inteiro e diagonal. De suas entradas, pode ser visto que a estrutura do grupo is ou simplesmente , as é um grupo trivial.

In[8]:=

r // MatrixForm

Out[8]//MatrixForm=

Multiplicando a identidade a direita por resulta . Como é um número inteiro e fator determinante , gera o mesmo reticulado como porém mais simples.

In[9]:=

g = r.Inverse[v]; g // MatrixForm

Out[9]//MatrixForm=

Visualize o reticulado gerado pelas linhas de .

In[10]:=

ptsg = Flatten[ Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

In[11]:=

graphicsg = Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10, Axes -> True]

Out[11]=

Sobrepondo o novo reticulado sobre o original, podemos ver que eles são os mesmos.

In[12]:=

Show[{graphicsb, graphicsg}]

Out[12]=