Язык Wolfram Language

Алгебра и теория чисел

Использование разложения Смита для анализа решётки

Допустим, что решётка была генерирована числами, кратными векторам и .

In[1]:=
Click for copyable input
b1 = {3, -3}; b2 = {2, 1};
In[2]:=
Click for copyable input
ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[3]:=
Click for copyable input
graphicsb = Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10, Axes -> True]
Out[3]=

Допустим, что является матрицей, чьи ряды - это и .

In[4]:=
Click for copyable input
m = {b1, b2};

Разложение Смита выдаёт три матрицы, удовлетворяющие тождеству .

In[5]:=
Click for copyable input
{u, r, v} = SmithDecomposition[m];
In[6]:=
Click for copyable input
u.m.v == r
Out[6]=

Матрицы и имеют элементы целых чисел и одну детерминанту.

In[7]:=
Click for copyable input
{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}
Out[7]=

Матрица - это целое число и диагональ. Исходя из её элементов, можно увидеть, что структура группы - это или просто , так как является тривиальной группой.

In[8]:=
Click for copyable input
r // MatrixForm
Out[8]//MatrixForm=

Умножение правой части тождества на производит . Так как является целым числом и детерминантой , генерирует такую же решётку как , но только проще.

In[9]:=
Click for copyable input
g = r.Inverse[v]; g // MatrixForm
Out[9]//MatrixForm=

Визуализировать решётку, сгенерированную рядами .

In[10]:=
Click for copyable input
ptsg = Flatten[ Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[11]:=
Click for copyable input
graphicsg = Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10, Axes -> True]
Out[11]=

Наложение новой решётки на оригинальную доказывает, что они одинаковы.

In[12]:=
Click for copyable input
Show[{graphicsb, graphicsg}]
Out[12]=

Родственные примеры

de en es fr ja ko pt-br zh