使用史密斯分解分析晶格
考虑通过向量 和 的整数倍产生的晶格 .
In[1]:=
b1 = {3, -3};
b2 = {2, 1};
In[2]:=
ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[3]:=
graphicsb =
Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
Out[3]=
以 作为矩阵,其中行为 和 .
In[4]:=
m = {b1, b2};
史密斯分解给出三个满足恒等式 的矩阵.
In[5]:=
{u, r, v} = SmithDecomposition[m];
In[6]:=
u.m.v == r
Out[6]=
矩阵 和 的项为整数,行列式为 1.
In[7]:=
{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}
Out[7]=
矩阵 为整数矩阵且为对角矩阵. 从其项来看,可以发现 群的结构为 ,或直接写为 ,因为 是平凡群.
In[8]:=
r // MatrixForm
Out[8]//MatrixForm=
恒等式 的右边乘以 ,得出 . 由于 是整数矩阵且其行列式为 , 生成的是与 相同的晶格但更简单.
In[9]:=
g = r.Inverse[v];
g // MatrixForm
Out[9]//MatrixForm=
可视化由 行生成的晶格.
In[10]:=
ptsg = Flatten[
Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];
In[11]:=
graphicsg =
Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]
Out[11]=
将新晶格与原来的晶格叠加确认它们是相同的.
In[12]:=
Show[{graphicsb, graphicsg}]
Out[12]=