使用史密斯分解分析晶格

考虑通过向量 和 的整数倍产生的晶格 .

In[1]:=

b1 = {3, -3}; b2 = {2, 1};

In[2]:=

ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

In[3]:=

graphicsb = Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10, Axes -> True]

Out[3]=

以 作为矩阵，其中行为 和 .

In[4]:=

m = {b1, b2};

史密斯分解给出三个满足恒等式 的矩阵.

In[5]:=

{u, r, v} = SmithDecomposition[m];

In[6]:=

u.m.v == r

Out[6]=

矩阵 和 的项为整数，行列式为 1.

In[7]:=

{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}

Out[7]=

矩阵 为整数矩阵且为对角矩阵. 从其项来看，可以发现 群的结构为 ，或直接写为 ，因为 是平凡群.

In[8]:=

r // MatrixForm

Out[8]//MatrixForm=

恒等式 的右边乘以 ，得出 . 由于 是整数矩阵且其行列式为 ， 生成的是与 相同的晶格但更简单.

In[9]:=

g = r.Inverse[v]; g // MatrixForm

Out[9]//MatrixForm=

可视化由 行生成的晶格.

In[10]:=

ptsg = Flatten[ Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

In[11]:=

graphicsg = Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10, Axes -> True]

Out[11]=

将新晶格与原来的晶格叠加确认它们是相同的.

In[12]:=

Show[{graphicsb, graphicsg}]

Out[12]=