Analysieren Sie einen Gittergraphen mit der Smith-Zerlegung
Untersuchen Sie den Gittergraphen , der von den ganzzahligen Vielfachen der Vektoren
und
generiert wird.

b1 = {3, -3};
b2 = {2, 1};

ptsb = Flatten[Table[j b1 + k b2, {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

graphicsb =
Graphics[{Blue, PointSize[Large], Point@ptsb}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]

sei die Matrix mit den Zeilen
und
.

m = {b1, b2};
Durch die Smith-Zerlegung ergeben sich drei Matritzen, die der Identität genügen.

{u, r, v} = SmithDecomposition[m];

u.m.v == r

Die Matritzen und
haben ganzzahlige Einträge und eine Determinante gleich eins.

{u // MatrixForm, v // MatrixForm, Det[u], Det[v]}

Die Matrix ist ganzzahlig und diagonal. Aus den Matrixeinträgen ist ersichtlich, dass
oder einfach
die Struktur der Gruppe
ist, da
die triviale Gruppe ist.

r // MatrixForm

Multipliziert man die Identität auf der rechten Seite mal
, ergibt sich
. Da
ganzzahlige Einträge und die Determinante
hat, generiert
dieselbe Gittergraphik wie
, jedoch in einfacherer Ausführung.

g = r.Inverse[v];
g // MatrixForm

Visualisieren Sie die Gittergraphik, die durch die Zeilen von generiert wurde.

ptsg = Flatten[
Table[j First[g] + k Last[g], {j, -12, 12}, {k, -12, 12}], 1];

graphicsg =
Graphics[{Red, PointSize[Medium], Point@ptsg}, PlotRange -> 10,
Axes -> True]

Wenn Sie die neue Gittergraphik über das ursprüngliche Gitter legen, können Sie feststellen, dass die beiden gleich sind.

Show[{graphicsb, graphicsg}]
