在圆形薄膜中产生振荡: Wolfram语言 11 的新功能

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在圆形薄膜中产生振荡

用二维波动方程对半径为 1 的圆形薄膜的振荡建模.

In[1]:=

eqn = r D[u[r, t], {t, 2}] == D[r D[u[r, t], r], r];

假定薄膜的边界是固定的.

In[2]:=

bc = u[1, t] == 0;

问题的初始条件.

In[3]:=

ic = {u[r, 0] == 0, Derivative[0, 1][u][r, 0] == 1};

使用 DSolve 获取一个以贝塞尔函数（Bessel function）表示的解.

In[4]:=

(dsol = DSolve[{eqn, bc, ic}, u[r, t], {r, t}]) // TraditionalForm

Out[4]//TraditionalForm=

从 Inactive 总和中提取有限数量的一些项.

In[5]:=

h[r_, t_] = 
  u[r, t] /. dsol[[1]] /. {\[Infinity] -> 3} // Activate // N;

最低模态的周期大约为 2.612.

In[6]:=

N[(2 \[Pi])/BesselJZero[0, 1]]

Out[6]=

在四个周期的范围内可视化薄膜的振荡.

In[7]:=

ListAnimate[
 Table[Plot3D[
   Evaluate[h[r, t] /. {r -> Sqrt[x^2 + y^2]}], {x, y} \[Element] 
    Disk[], PlotRange -> {-1, 1}, Ticks -> None, Mesh -> True, 
   MeshStyle -> {Red, Blue}, PlotStyle -> Yellow, Boxed -> False, 
   Axes -> False, ImageSize -> Medium, AspectRatio -> 1, 
   Background -> Lighter[Orange, 0.85]], {t, 0, 10.45, 0.05}]]