Explore uma expansão assintótica divergente (AsymptoticIntegrate)
Expansões assintóticas geralmente são dadas em termos de séries divergentes. Normalmente, os primeiros poucos termos da série divergente fornecem uma excelente aproximação para o problema, mas a qualidade da aproximação se deteriora com a adição de termos adicionais na série. Esse fenômeno é ilustrado no exemplo a seguir de uma integral definida dependendo de um parâmetro.
Considere a seguinte expansão de série para uma integral definida.
A série diverge para todos os valores diferentes de zero de .
Apesar da série ser classicamente divergente, ela fornece uma excelente aproximação assintótica para a integral. Por exemplo, a seguinte comparação numérica mostra que a aproximação é bastante precisa.
A aproximação não é mais precisa com um maior número de termos, o que é um comportamento típico para uma série assintótica.
O gráfico a seguir mostra que, para um valor fixo de , a série assintótica fornece uma boa aproximação quando o número de termos está dentro de um determinado intervalo (dependendo de ). A aproximação começa a divergir quando o número de termos é aumentado além desse intervalo.
Obtenha o resultado exato usando Integrate ou Regularization.