多项式方程组的高性能数值解 

Mathematica 10 包含了新的以同伦算法为基础的数值多项式求解器. 该方法在适当时会被自动选择. 以下图表比较该新算法和 Mathematica 9 基于Gröbner 的算法以及更快的 Maple 18 的 solve 或 Homotopy 指令. 所有测试在允许超线程和时间限制为12小时的16核2.40 GHz 64位 Linux 系统上执行.

用以下公式比较标准的经济体系，对 个变量，全次数为 且有 个不同的解.

In[1]:=

X eco[k_] := Append[ Table[(Subscript[x, i] + Sum[Subscript[x, j] Subscript[x, j + 1], {j, i, k - 2}]) Subscript[x, k] - i == 0, {i, 1, k - 1}], Sum[Subscript[x, i], {i, 1, k - 1}] + 1 == 0]

例如，当 时系统取得下列形式.

In[2]:=

X Column[eco[8]] // TraditionalForm

Out[2]//TraditionalForm=

以下公式给出标准 Noonburg 神经网络系统的比较. 对 个变量，该系统有全次数为 和 的不同解.

In[3]:=

X noon[k_] := Table[Subscript[x, i] (Sum[Subscript[x, j]^2, {j, 1, k}] - Subscript[x, i]^2 - 1.1) + 1 == 0, {i, 1, k}]

对于5个变量，系统取下列形式.

In[4]:=

X Column[noon[5]] // TraditionalForm

Out[4]//TraditionalForm=

铁磁晶格概率的标准 Katsura- 系统的比较，在 个变量有全次数 和 个不同的解. 阶系统采用下列形式.

In[5]:=

X kats[n_] := Append[Table[-Subscript[x, i] + \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = i + 1\), \(n - i + 2\)]\(2\ \*SubscriptBox[\(x\), \(j\)]\ \*SubscriptBox[\(x\), \(i + j - 1\)]\)\) + \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 1\), \(i\)]\( \*SubscriptBox[\(x\), \(j\)]\ \*SubscriptBox[\(x\), \(i - j + 1\)]\)\) == 0, {i, n}], -1 + Subscript[x, 1] + \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 2\), \(n + 1\)]\(2\ \*SubscriptBox[\(x\), \(j\)]\)\) == 0]

例如，对于 系统有6个未知数的6个方程式.

In[6]:=

X Column[kats[5]] // TraditionalForm

Out[6]//TraditionalForm=