计算任意维数中曲线的曲率 

ArcCurvature 和 FrenetSerretSystem 计算任意维数中曲线的曲率.

ArcCurvature 给出单个无符号曲率.

In[1]:=

X Simplify[ArcCurvature[{r Cos[t], -r Sin[t]}, t], r > 0]

Out[1]=

用极坐标表达的曲线曲率.

In[2]:=

X Simplify[ArcCurvature[{a t^2, t}, t, "Polar"], a > 0 && t > 0]

Out[2]=

在三维和四维中的曲线.

In[3]:=

X Simplify[ArcCurvature[{r Cos[t], -r Sin[t], t}, t], r > 0]

Out[3]=

In[4]:=

X Simplify[ArcCurvature[{r Cos[t], -r Sin[t], Cos[t], Sin[t]}, t], r > 0]

Out[4]=

FrenetSerretSystem 给出的广义曲率可能有符号并且与基相关.

In[5]:=

X Simplify[FrenetSerretSystem[{r Cos[t], -r Sin[t]}, t], r > 0]

Out[5]=

在三维中，广义曲率通常被称为曲率和挠率并与切线/法线/副法线或 TNB 基相关.

In[6]:=

X Simplify[FrenetSerretSystem[{r Cos[t], -r Sin[t], t}, t], r > 0]

Out[6]=

可视化四种曲线. 用颜色表示第四维.

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In[7]:=

X Grid[{{ParametricPlot[{2 Cos[t], -2 Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}], PolarPlot[{2 Sqrt[t], - 2 Sqrt[t]}, {t, 0, 4 Pi}, PlotStyle -> ColorData[97, 1]]}, {ParametricPlot3D[{2 Cos[t], -2 Sin[t], t}, {t, 0, 4 Pi}, PlotTheme -> {"Default", "Scientific"}], ParametricPlot3D[{2 Cos[t], -2 Sin[t], Cos[t]}, {t, 0, 2 Pi}, ColorFunction -> (Hue[Sin[#4]] &), PlotTheme -> "Scientific"]}}, Dividers -> All]

Out[7]=