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Lösen Sie Kombinatorikaufgaben mit Permanenten

Eine Permanente ist ähnlich der Determinante, außer dass alle Terme ein positives Vorzeichen besitzen.

In[1]:=

Permanent[\!\(\* TagBox[ RowBox[{"(", "", GridBox[{ { SubscriptBox["a", RowBox[{"1", ",", "1"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"1", ",", "2"}]]}, { SubscriptBox["a", RowBox[{"2", ",", "1"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"2", ",", "2"}]]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Left}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}, "Items" -> {}, "ItemsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}, "Items" -> {}, "ItemsIndexed" -> {}}], "", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]\)]

Out[1]=

In[2]:=

Permanent[\!\(\* TagBox[ RowBox[{"(", "", GridBox[{ { SubscriptBox["a", RowBox[{"1", ",", "1"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"1", ",", "2"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"1", ",", "3"}]]}, { SubscriptBox["a", RowBox[{"2", ",", "1"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"2", ",", "2"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"2", ",", "3"}]]}, { SubscriptBox["a", RowBox[{"3", ",", "1"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"3", ",", "2"}]], SubscriptBox["a", RowBox[{"3", ",", "3"}]]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Left}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}, "Items" -> {}, "ItemsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}, "Items" -> {}, "ItemsIndexed" -> {}}], "", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]\)]

Out[2]=

Eine Permanente auf eine Matrix anzuwenden, deren Einträge alle gleich 1 sind, ist eine vergnügliche, aber ineffiziente Art, die Fakultät zu berechnen.

In[3]:=

Table[Permanent[ConstantArray[1, {n, n}]], {n, 10}]

Out[3]=

Mit der Permanente kann auch das folgende, wesentlich interessantere Kombinatorikproblem gelöst werden: Gegeben seien Mengen, von denen jede eine Teilmenge enthält. Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein immer anderes Element von jeder Teilmenge auszuwählen? Konstruieren Sie zuerst die Matrix , wobei die Position eine 1 enthält, wenn in der Teilmenge enthalten ist, und 0, wenn nicht.

In[4]:=

sets = {{3, 5, 6, 7}, {3, 7}, {1, 2, 4, 5, 7}, {3}, {1, 3, 6}, {1, 5, 7}, {1, 2, 3, 6}}

Out[4]=

In[5]:=

m = Table[If[MemberQ[sets[[i]], j], 1, 0] , {i, 7}, {j, 7}]; m // MatrixForm

Out[5]//MatrixForm=

Die Permanente von ist die Lösung des Problems.

In[6]:=

Permanent[m]

Out[6]=

Bekräftigen Sie die Antwort, indem Sie alle Tupel darstellen.

In[7]:=

Select[Tuples[sets], DuplicateFreeQ]

Out[7]=