Observación de una partícula cuántica en una caja
Una partícula cuántica libre de moverse dentro de un rectángulo de dos dimensiones con lados xMax y se describe como una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, junto con condiciones de límite que obligan a la función de onda a cero en el límite.

eqn = I D[\[Psi][x, y, t], t] == -\[HBar]^2/(2 m)
Laplacian[\[Psi][x, y, t], {x, y}];

bcs = {\[Psi][0, y, t] == 0, \[Psi][xMax, y, t] ==
0, \[Psi][x, yMax, t] == 0, \[Psi][x, 0, t] == 0};
Esta ecuación tiene una solución general que es una suma formal infinita de los llamados estados propios.

DSolveValue[{eqn, bcs}, \[Psi][x, y, t], {x, y, t}]

Defina una condición inicial igual a un estado propio unificado.

initEigen = \[Psi][x, y, 0] ==
2 /Sqrt[xMax yMax] Sin[(\[Pi] x)/xMax] Sin[(\[Pi] y)/yMax];
En este caso, la solución es simplemente una múltiple (de la unidad de módulo) dependiente del tiempo de la condición inicial.

DSolveValue[{eqn, bcs, initEigen}, \[Psi][x, y, t], {x, y, t}]

Defina una condición inicial que es la suma de estados propios. Debido a que las condiciones iniciales no constituyen un estado inicial, la densidad de probabilidad para la ubicación de la partícula será dependiente del tiempo.

initSum = \[Psi][x, y, 0] ==
Sqrt[2]/Sqrt[
xMax yMax] (Sin[(2 \[Pi] x)/xMax] Sin[(\[Pi] y)/yMax] +
Sin[(\[Pi] x)/xMax] Sin[(3 \[Pi] y)/yMax]);
Resuelva con una nueva condición inicial.

sol = DSolveValue[{eqn, bcs, initSum}, \[Psi][x, y, t], {x, y, t}]

Calcule la densidad de probabilidad, agregando valores de la constante reducida de Planck, masa de electrón y una caja de tamaño atómico, utilizando unidades de la masa del electrón, nanómetros y femtosegundos.

\[HBar] =
QuantityMagnitude[Quantity[1., "ReducedPlanckConstant"],
"ElectronMass" * ("Nanometers")^2/"Femtoseconds"]


\[Rho][x_, y_, t_] =
FullSimplify[ComplexExpand[Conjugate[sol] sol]] /. {m -> 1,
xMax -> 1, yMax -> 1}

Visualice la probabilidad dentro de la caja con el tiempo.

ListAnimate[
Table[Plot3D[\[Rho][x , y , t], {x, 0, 1}, {y, 0, 1},
PlotTheme -> {"Scientific", "SolidGrid"}, AxesLabel -> {"\!\(\*
StyleBox[\"x\", \"SO\"]\) (nm)", " \!\(\*
StyleBox[\"y\", \"SO\"]\) (nm)", "\!\(\*
StyleBox[\"\[Rho]\", \"SO\"]\) (\!\(\*SuperscriptBox[\(nm\), \
\(-2\)]\))"}, ImageSize -> Medium, PlotRange -> {0, 7}], {t, 0,
19, .5}]]
