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CUEにおけるブラウン運動

多様体上のユニタリ行列のブラウン運動は，無限小生成器でガウス型ユニタリアンサンブルから構築できる．このブラウン運動の定常分布はCUEの分布に一致する．

In[1]:=

mats = RandomVariate[GaussianUnitaryMatrixDistribution[0.1, 2], 100000]; mats = Table[MatrixExp[I mat], {mat, mats}];

初期点をCUEからサンプルを抽出してブラウン経路を生成する．

In[2]:=

initial = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[2]]; res = FoldList[#2.#1 &, initial, mats];

固有値の位相を計算し，CUEの行列の固有値の確率密度関数と比較する．

In[3]:=

phases = RandomSample /@ Arg[Eigenvalues /@ res];

In[4]:=

Show[ ContourPlot[ 1/(8 Pi^2) Abs[Exp[I \[Phi]1] - Exp[I \[Phi]2]]^2, {\[Phi]1, -Pi, Pi}, {\[Phi]2, -Pi, Pi}], ListPlot[Take[phases, {1, -1, 10}], ImageSize -> Medium, PlotStyle -> Black, PlotTheme -> "Detailed"], ImageSize -> Medium]

Out[4]=