CUE 上的布朗运动

酉矩阵流形上的布朗运动可以通过高斯酉系综的无穷小生成元构建. 这样的布朗运动稳态分布与 CUE 分布是相同的.

In[1]:=

mats = RandomVariate[GaussianUnitaryMatrixDistribution[0.1, 2], 100000]; mats = Table[MatrixExp[I mat], {mat, mats}];

起始点从 CUE 采样，生成布朗运动的路径.

In[2]:=

initial = RandomVariate[CircularUnitaryMatrixDistribution[2]]; res = FoldList[#2.#1 &, initial, mats];

计算特征值的相位，并将它们与从 CUE 得到的矩阵特征值的概率密度函数比较.

In[3]:=

phases = RandomSample /@ Arg[Eigenvalues /@ res];

In[4]:=

Show[ ContourPlot[ 1/(8 Pi^2) Abs[Exp[I \[Phi]1] - Exp[I \[Phi]2]]^2, {\[Phi]1, -Pi, Pi}, {\[Phi]2, -Pi, Pi}], ListPlot[Take[phases, {1, -1, 10}], ImageSize -> Medium, PlotStyle -> Black, PlotTheme -> "Detailed"], ImageSize -> Medium]

Out[4]=