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Distribuciones de Wishart e invertidas de Wishart

La distribución de Wishart es la distribución de matriz de covarianza de muestras de vectores aleatorios multinormales independientes. Es una generalización de la distribución en múltiples dimensiones. La distribución aparece naturalmente en estadística multivariante, tal como regresión, covarianza, etc.

Genere una matriz definida positiva para usar como parámetro de la distribución de Wishart.

In[1]:=

\[CapitalSigma] = DiagonalMatrix[RandomReal[10, 5]];

Las matrices de la distribución de Wishart son simétricas y definidas positivas. »

In[2]:=

dist = WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]; mat = RandomVariate[dist];

In[3]:=

SymmetricMatrixQ[mat] && PositiveDefiniteMatrixQ[mat]

Out[3]=

La distribución inversa de Wishart es la distribución de matrices inversas de la distribución de Wishart. »

In[4]:=

invdist = InverseWishartMatrixDistribution[30, Inverse[\[CapitalSigma]]]; invmat = RandomVariate[invdist];

Las matrices de la distribución inversa de Wishart son simétricas y definidas positivas.

In[5]:=

SymmetricMatrixQ[invmat] && PositiveDefiniteMatrixQ[invmat]

Out[5]=

Compare la distribución de valores propios para matrices de distribuciones de Wishart e inversas de Wishart.

In[6]:=

eigs = Flatten[ RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x], x \[Distributed] dist], 10^4]]; inveigs = Flatten[RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]^-1, x \[Distributed] invdist], 10^4]];

In[7]:=

SmoothHistogram[{eigs, inveigs}, PlotLegends -> {"Wishart", "Inverse Wishart"}, Filling -> Axis, ImageSize -> Medium, PlotTheme -> "Scientific"]

Out[7]=

Para un vector distinto de cero matriz de Wishart con matriz de escala , la estadística es distribuida en .

In[8]:=

y = #/Sqrt[#.\[CapitalSigma].#] &[RandomReal[1, 5]]; data = RandomVariate[ MatrixPropertyDistribution[y.w.y, w \[Distributed] WishartMatrixDistribution[30, \[CapitalSigma]]], 10^4];

In[9]:=

Show[Histogram[data, Automatic, PDF, PlotTheme -> "Detailed"], Plot[PDF[ChiSquareDistribution[30], x], {x, 0, 80}], ImageSize -> Medium]

Out[9]=