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用基本解解波动方程

定义一个具有一个空间维度的波动算子.

In[1]:=

waveOperator = \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \({t, 2}\)]\(u[x, t]\)\) - \!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \({x, 2}\)]\(u[x, t]\)\);

用 GreenFunction 得到其基本解.

In[2]:=

gf[x_, t_, y_, s_] = GreenFunction[waveOperator, u[x, t], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}, t, {y, s}]

Out[2]=

绘制基本解的图形.

In[3]:=

Plot3D[gf[x, t, 0, 0] // Evaluate, {x, -4, 4}, {t, 0, 4}, ExclusionsStyle -> Orange, Mesh -> None, AxesLabel -> Automatic]

Out[3]=

定义一个力函数.

In[4]:=

f[y_, s_] := Cos[y] E^(-s)

通过计算卷积 来求解具有这个力函数的波动方程.

In[5]:=

sol = Integrate[ gf[x, t, y, s] f[y, s], {y, -\[Infinity], \[Infinity]}, {s, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> t > 0 && Im[x] == 0] // FullSimplify

Out[5]=

用 DSolveValue 得到齐次初始条件下的结果.

In[6]:=

initialc = {u[x, 0] == 0, Derivative[0, 1][u][x, 0] == 0};

In[7]:=

DSolveValue[{waveOperator == f[x, t], initialc}, u[x, t], {x, t}]

Out[7]=

图示该解所产生的驻波.

In[8]:=

Plot[Table[sol, {t, 0, 1, 0.2}] // Evaluate, {x, -10, 10}, Filling -> Axis]

Out[8]=