Linealización de Carleman 

La rica dinámica de sistemas no lineales pueden ser sólo parcialmente capturados por linealizaciones aproximadas. Evalúe la efectividad de los diferentes órdenes de la CarlemanLinearize en varios puntos en el espacio de fase de un oscilador de Van der Pol.

El modelo de un oscilador de Van der Pol.

In[1]:=

X vanderpol[\[Mu]_] := AffineStateSpaceModel[ {{Subscript[x, 2], -Subscript[x, 1] - \[Mu] (-1 + \!\(\*SubsuperscriptBox[\(x\), \(1\), \(2\)]\)) Subscript[x, 2]}, {{ }, {}}}, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]}, {}, {Automatic, Automatic}, Automatic , SamplingPeriod -> None]

Su respuesta para 100 unidades de tiempo a partir de un punto inicial p.

In[2]:=

X vanderpolResponse[\[Mu]_, p_] := OutputResponse[{vanderpol[\[Mu]], p}, {}, {t, 0, 100}]

Su retrato de fase.

In[3]:=

X vanderpolPhasePortrait[\[Mu]_] := With[{v = Normal[vanderpol[\[Mu]]][[1, 1]] /. x_[\[FormalT]] :> x}, StreamPlot[v, {Subscript[x, 1], -3, 3}, {Subscript[x, 2], -3, 3}, StreamStyle -> "PinDart"]]

La respuesta de un sistema linealizado de Carleman con orden de aproximación n.

In[4]:=

X approxResponse[\[Mu]_, p_, n_] := With[{\[ScriptCapitalC] = CarlemanLinearize[vanderpol[\[Mu]], n]}, OutputResponse[{\[ScriptCapitalC]["TransformedSystem"], Last /@ \[ScriptCapitalC]["EmbeddingTransformation"] /. Thread[{Subscript[x, 1], Subscript[x, 2]} -> p]}, {}, {t, 0, 100}]]

Visualice las trayectorias actuales y aproximadas desde varios puntos iniciales.

In[5]:=

X Manipulate[ Show[vanderpolPhasePortrait[\[Mu]], ParametricPlot[ Evaluate[{vanderpolResponse[\[Mu], p]}~ Join~(approxResponse[\[Mu], p, #] & /@ n)], {t, 0, 100}, PlotLegends -> Join[{"Exact"}, n]], ImageSize -> Medium], {{p, {0.01, 0}}, {-3, -3}, {3, 3}, Locator}, {{\[Mu], 0.6, "Parameter (\[Mu])"}, 0, 1.2, 0.1}, {{n, {1, 4}, "Approx. system(s)"}, CheckboxBar[Dynamic@n, {1, 2, 4, 6, 8, 10}] &}, SaveDefinitions -> True, AutorunSequencing -> {1, 2}]

Reproducir Detener