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Séparations de valeurs propres de distributions de Gauss

Les séparations de valeurs propres (différences de valeurs propres consécutives) des distributions de la matrice ont une forme limite universelle qui est observée dans de nombreux systèmes dans la nature, comme les séparations des atomes lourds au niveau d'énergie.

Prenez l'échantillon de séparations de valeurs propres de matrices 2×2 de différents ensembles de Gauss.

In[1]:=

gaussiandists = {GaussianOrthogonalMatrixDistribution[2], GaussianUnitaryMatrixDistribution[2], GaussianSymplecticMatrixDistribution[2]};

In[2]:=

spacingdists = MatrixPropertyDistribution[{-1, 1}.MinMax[Eigenvalues[x]], x \[Distributed] #] & /@ gaussiandists;

In[3]:=

gaps = Normalize[RandomVariate[#, 10000], Mean] & /@ spacingdists;

Comparez les histogrammes pour chaque distribution avec leur forme fermée, aussi connue comme la Wigner conjecture pour les indices de Dyson de 1, 2 et 4.

In[4]:=

WignerSurmisePDF[x_, \[Beta] : 1] := Pi (x/2) Exp[-Pi (x/2)^2] WignerSurmisePDF[x_, \[Beta] : 2] := 2 (4 x/Pi)^2 Exp[(-4/Pi) x^2] WignerSurmisePDF[ x_, \[Beta] : 4] := (64/(9 Pi))^3 x^4 Exp[(-64/(9 Pi)) x^2]

In[5]:=

histogram = Histogram[#, {0.1}, PDF] & /@ gaps; plot = Plot[WignerSurmisePDF[x, #] , {x, 0, 3}] & /@ {1, 2, 4}; GraphicsRow@ MapThread[ Show[#1, #2, ImageSize -> 180, PlotLabel -> Row[{"\[Beta] = ", #3}]] &, {histogram, plot, {1, 2, 4}}]

Out[5]=