La distribution de Marchenko–Pastur
La distribution de Marchenko–Pastur est la distribution de limite des valeurs propres de matrices de Wishart comme la matrice de dimension m et degrés de liberté n les deux tendent à l'infini avec le rapport . Pour
, la distribution n'a pas de masse ponctuelle et la fonction de densité de probabilité est bien définie.

PDF[MarchenkoPasturDistribution[1/2], x]


Échantillon d'une distribution de Wishart avec matrice d'échelle d'identité et calculez les valeurs propres à l'échelle.

n = 10^4;
m = 10^3;
eigs = RandomVariate[
MatrixPropertyDistribution[Eigenvalues[x]/n,
x \[Distributed]
WishartMatrixDistribution[n, IdentityMatrix[m]]]];
Comparez le résultat échantillonné avec la fonction de densité de Marchenko–Pastur.

Show[Histogram[eigs, {0.05}, "PDF", ImageSize -> Medium,
PlotTheme -> "Detailed"],
Plot[PDF[MarchenkoPasturDistribution[m/n], x], {x, 0, 1.8},
PlotTheme -> "Detailed", PlotLegends -> None, Exclusions -> None]]

Pour , la matrice de Wishart est singulière. La probabilité
, la distribution a une masse dans le point
.

m = 500; n = 2 m;
CDF[MarchenkoPasturDistribution[n/m], 0]

Générez une matrice avec covariance d'identité et calculez avec les valeurs propres à l'échelle.

matrix = Transpose[#].# &[RandomVariate[NormalDistribution[], {m, n}]];
eigvs = Chop[Eigenvalues[matrix]/m];
Il y a une lacune dans la densité des valeurs propres proches de 0, et le conteneur 0 a une grande densité.

Histogram[eigvs, {0.05}, PDF, PlotRange -> 1, ChartStyle -> Orange,
ImageSize -> Medium]

Ajustez MarchenkoPasturDistribution aux valeurs propres.

edist = EstimatedDistribution[eigvs,
MarchenkoPasturDistribution[\[Lambda], 1]]

La fonction de distribution d'accumulation de la distribution ajustée montre une discontinuité de saut à l'origine.
